1)Գտեք 5 սմ, 7 սմ, 10 սմ կողմերով եռանկյան մակերեսը:

5+7+10/2=11

(11(11-5)(11-7)(11-10)=24

11*24=√264

2)Գտեք 13 դմ, 9 դմ, 6 դմ կողմերով եռանկյան մակերեսը:

13+9+6/2=14

(14(14-13)(14-9)(14-6)=√560

3)Հավասարասրուն եռանկյան պարագիծը 32 դմ է, իսկ հիմքը և սրունքը հարաբերում են, ինչպես 6:5: Գտե՛ք եռանկյան մակերեսը:

16x=32 x=2

48

4)Եռանկյան կողմերը հարաբերում են, ինչպես 21:10:17, իսկ մակերեսը 84 սմ է: Գտեք եռանկյան կողմերը:

10 21 17

5)Եռանկյան կողմերը 10 դմ, 17 դմ, 21 դմ են: Գտե՛ք այդ եռանկյան մեծ կողմին տարած բարձրությունը:

8

6)Գտե՛ք 9 սմ, 12 սմ, 15 սմ կողմերով եռանկյան մակերեսը և արտագծած շրջանագծի շառավիղը:

9+12+15/2=18

(18(18-9)(18-12)(18-15)=54

9*12*15/4*54=7.5

7)Գտե՛ք եռանկյան մակերեսը, եթե դրա կողմերի երկարությունները հարաբերում են, ինչպես 7:15:20, իսկ ներգծած շրջանագծի շառավիղը 10 սմ է։

7x+15x+20x/2=21x

21x*10=210x

42×2=210x

210/42=5

210*5=1050

1)Շրջանագծի հատողն իր արտաքին մասից մեծ է 2ամբ1/4 անգամ։ Հատողը նույն կետից տարված շոշափողից քանի՞ անգամ է մեծ։

ABAD​=23​AC49​AC​=49​⋅32​=23​

Պատասխան՝ հատողը շոշափողից 1.5 անգամ է մեծ։

2)Դիցուք՝ AB-ն շոշափող է, AD-ն՝ նույն շրջանագծի հատող, որի արտաքին մասը AC-ն է։ Որոշեք՝
ա) CD-ն, եթե AB = 2 սմ և AD = 4 սմ
բ) AD-ն, եթե AC : CD = 4/5 և AB = 12 սմ

18AD=9k=18

Պատասխան՝ AD=18AD=18 սմ։

3)Մի կետից շրջանագծին տարված շոշափողն ու հատողը համապատասխանաբար հավասար են 20 սմ և 40 սմ, իսկ հատողի հեռավորությունը շրջանագծի կենտրոնից՝ 8 սմ։ Գտեք շրջանագծի շառավիղը։

R2=152+82=225+64=289R2=152+82=225+64=289R=17R=17

Պատասխան՝ R=17R=17 սմ։

4)Մի կետից շրջանագծին տարված են հատող և շոշափող: Որոշեք շոշափողի երկարությունը, եթե նա հատողի արտաքին մասից 5 սմ–ով մեծ է, իսկ ներքին մասից` նույնքանով փոքր:

10AB=x+5=10

Պատասխան՝ շոշափողը 10 սմ է։

5)Մի կետից նույն շրջանագծին տարված են երկու հատող՝ որոնց երկարություններն են 15 սմ և 25 սմ։ Գտեք նրանց արտաքին մասերը, եթե հայտնի է, որ դրանցից մեկը 2 սմ–ով մեծ է մյուսից։

15(y+2)=25y15y+30=25y⇒10y=30⇒y=315y+30=25y⇒10y=30⇒y=3x=y+2=5x=y+2=5

Պատասխան՝ արտաքին մասերը 3 սմ և 5 սմ են։

1)O-ն ABC եռանկյան միջնագծերի հատման կետն է: Գտե՛ք AO հատվածի երկարությունը, եթե AK միջնագիծը 18 դմ է:

2+1=3

18/3=6

18-6=12

2)O-ն ABC եռանկյան միջնագծերի հատման կետն է: Գտե՛ք AK միջնագծի երկարությունը, եթե OK-ն 5 սմ է:

1+2=3

5*2=10

10+5=15

3)Տարված է C ուղիղ անկյունով ABC եռանկյան CH բարձրությունը: Գտե՛ք AB ներքնաձիգը, եթե AC = 6 սմ, AH = 3 սմ:

36/3=12

4)Ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգին տարված բարձրությունը այն բաժանում է 4 սմ և 5 սմ երկարությամբ հատվածների: Գտե՛ք եռանկյան էջերը:

AB=4*9=36

AC=5*9=45

5)Տարված է C ուղիղ անկյունով ABC եռանկյան CH բարձրությունը:
Գտեք AB ներքնաձիգը, եթե AH:HB=4:5, AC = 6 դմ:

36=4x*9x=36x

x=1

AB=9

1)ABC և A1B1C1 եռանկյունները նման են, ընդ որում՝ k = 3 : Գտեք ABC եռանկյան մակերեսը, եթե A1B1C1 եռանկյան մակերեսը 16 սմ2 է: 16×9=144

2)Նման եռանկյուններից մեկի մակերեսը 20 դմ2 է, մյուսինը`5 դմ2: Գտե՛ք այդ եռանկյունների նմանության գործակիցը:20:5=4 K=2

3)Նման եռանկյուններից մեկի կողմը 24 սմ է, իսկ մյուս եռանկյան դրան նմանակ կողմը 6 սմ է: Գտեք երկրորդ եռանկյան մակերեսը, եթե առաջինի մակերեսը 160 սմ է:24:6=4 160/x=16 160:16=10

4)Նման եռանկյուններից մեկի կողմերը 5 անգամ փոքր են մյուսի կողմերից: Գտե՛ք դրանց մակերեսների հարաբերությունը: 5²=25

5)M-ը ABCD զուգահեռագծի BC կողմը բաժանվում է 1:2 հարաբերությամբ՝ հաշված B կետից: AM և BD հատվածները հատվում են K կետում: Գտե՛ք K կետի հեռավորությունը AD-ից, եթե K կետի հեռավորությունը BC-ից 5 սմ է։ 15սմ

6)BC = 6 սմ և AD = 18 սմ հիմքերով ABCD սեղանի անկյունագծերը հատվում են O կետում: Գտե՛ք AOD եռանկյան OM միջնագիծը, եթե BOC եռանկյան OK միջնագիծը 8 սմ է: 24սմ

7)BC = 4 սմ և AD = 8 սմ հիմքերով ABCD սեղանի անկյունագծերը հատվում են O կետում: M-ը և N–ը համապատասխանաբար AO և OC հատվածների միջնակետերն են: Գտե՛ք DM-ը, եթե BN = 3 սմ:6սմ

1)ABC և A1B1C1 եռանկյունները նման են, ընդ որում՝ k = 4 : Գտեք ABC եռանկյան պարագիծը, եթե A1B1C1 եռանկյան պարագիծը 26 դմ է:

4*26=104դմ

2)Նման եռանկյուններից մեկի պարագիծը 28 սմ է, մյուսինը՝ 7 սմ: Գտե՛ք այդ եռանկյունների նմանության գործակիցը:

28/7=4

3)Նման եռանկյուններից մեկի կողմը 32 սմ է, մյուս եռանկյան դրան նմանակ կողմը 8 սմ է: Գտե՛ք երկրորդ եռանկյան պարագիծը, եթե առաջինի պարագիծը 120 սմ է։

32/8=4

120/4=30

4)Նման եռանկյուններից մեկի կողմերը 6 անգամ փոքր են մյուսի կողմերից: Գտե՛ք դրանց պարագծերի հարաբերությունը:

6

5)ABC և A1B1C1 եռանկյունները նման են, ընդ որում՝ ∠A = ∠A1, ∠B = ∠B1: BM-ը և B1M1-ը այդ եռանկյունների միջնագծերն են: Գտե՛ք B1M1-ը, եթե AB = 12 սմ, A1B1 = 4 սմ, BM = 9 սմ։

12/4=3

9/3=3

6)ABC և A1B1C1 եռանկյունները նման են, ընդ որում՝ ∠A = ∠A1, ∠B = ∠B1: AK-ն և A1K1-ը այդ եռանկյունների կիսորդներն են: Գտե՛ք BC-ն, եթե AK = 9 սմ, A1K1 = 3 սմ, B1C1 = 7 սմ:

9/3=3

3*7=21

7)ABC և A1B1C1 եռանկյունները նման են, ընդ որում՝ ∠A = ∠A1, ∠B = ∠B1: BH-ը և B1H1-ը այդ եռանկյունների բարձրություններն են: Գտե՛ք AC-ն, եթե BH =15 սմ, B1H1 = 6 սմ, A1C1 = 8 սմ։

15/6=2,5

8*2,5=20

1)Նմա՞ն են ABC և A₁B₁C₁ եռանկյունները, եթե ∠A = A₁, ∠B = ∠B₁, ∠C=∠C₁, AB = 12 սմ, BC = 8 սմ, AC = 18 սմ, A₁B₁= 6 սմ, B₁C₁ = 4 սմ, A₁C₁ = 9 սմ: Նման են

2)ABC և A₁B₁C₁ եռանկյունները նման են, ընդ որում՝ ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁, BC = 14 դմ, AC = 9 դմ, B₁C₁= 7 դմ: Գտե՛ք A₁C₁-ը: A1 C1 =4.5 դմ:

3)ABC և KMN եռանկյունները նման են, ընդ որում՝ AB/MN = BC/NK = AC/MK: ABC և MNK եռանկյունների ո՞ր անկյուններն են համապատասխանաբար հավասար:
∠C=∠k, ∠A=∠M, ∠B= ∠N


4)ABC և A₁B₁C₁ նման եռանկյուններում AB = BC, A₁B₁ = B₁C₁ <BAC = 65o : Գտե՛ք <A₁B₁C₁ –ը: 50

5)ABC և A₁B₁C₁ եռանկյունները նման են, ընդ որում՝ <A = <A₁, BC = 15 սմ, B₁C₁ = 5 սմ: Գտե՛ք այդ եռանկյունների նմանության գործակիցը: 3

6)ABC և DEF եռանկյունները նման են։ <A = <D, <C = <F, EF = 14 սմ, DF = 20 սմ, BC = 21 սմ։ Գտեք AC–ն։

30

Առաջադրանքներ․

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)Գծեք AB, CD և EF վեկտորներն այնպես, որ՝

ա) AB, CD և EF վեկտորները լինեն համագիծ

բ) AB և EF վեկտորները լինեն համագիծ, իսկ AB և CD վեկտորները համագիծ չլինեն

1)Գտեք ABCD զուգահեռագծի D գագաթի կոորդինատները, եթե A(0, 0) B(5, 0) C(12,- 3):

12-5

(7;-3)

2)Գտեք A և B կետերի հեռավորությունը, եթե`

ա) A(2, 7), B(-2, 7),

dAB=√(-2-2)²+(7-7)² =√16=4

բ) A(-5, 1), B(-5, -7),

dAB=√(-5+5)²+(-7-1)²=√64=8

գ) A(-3, 0), B(0, 4),

dAB=√(0+3)²+(4-0)²=√25=5

դ) Α(0, 3), B(-4, 0):

dAB=(-4-0)²+(0-3)²=√25=5

3)Գտեք MNP եռանկյան պարագիծը, եթե M(4, 0), N(12, -2), P(5, -9):

dMN=√(12-4)²+(-2-0)²=√68

dMP=√(5-4)²+(-9-0)²=√82

dNP=√(5-12)²+(-9+2)²=√98

P=√68+√82+√98

4)Տրված են A(-2;1), B(1; 5), C(7;5), D(4;1) կետերը: Գտեք ABCD քառանկյան անկյունագծերը և պարագիծը:

AB=√(1+2)²+(5-1)²=√25=5

BC=√(7-1)²+(5-5)²=√36=6

DA=√(-2-4)²+(1-1)²=√36=6

CD=√(4-7)²+(1-5)²=√25=5

P=5+5+6+6=22

BD=√(4-1)²+(1-5)²=√25=5

AC=√(7+2)²+(5-1)²=√97

5)Ապացուցեք, որ A(1; 7), B(-1; — 1), C(-4; 2) գագաթներով ABC եռանկյունը ուղղանկյուն եռանկյուն է: Գտե՛ք այդ եռանկյան ներք– նաձիգին տարված միջնագիծը:

AB=√(-1-1)²+(-1-7)²=√68

BC=√(-4+1)²+(2+1)²=√18

AC=√(-4-1)²+(2-7)²=√50

√18+√50=√68

6)Գտե՛ք A(1; — 2), B(3; 5), C(8; 0) գագաթներով ABC հավասարասրուն եռանկյան մակերեսը:

AB=√(3-1)²+(5+2)²=√53

BC=√(8-3)²+(0-5)²=√50

AC=√(8-1)²+(0+2)²=√53

1)Հավասարասրուն եռանկյան սրունքը 17 սմ է, իսկ հիմքը՝ 16 սմ: Գտեք հիմքին տարված բարձրությունը:

Պատասխան՝ բարձրությունը 15 սմ է։

2)ա)Գտեք`հավասարակողմ եռանկյան բարձրությունը, եթե նրա կողմը 6 սմ է, 

Պատասխան՝ բարձրությունը 

33≈5.233≈5.2 սմ է։

բ) հավասարակողմ եռանկյան կողմը, եթե նրա բարձրությունը 4 սմ է:

Պատասխան՝ եռանկյան կողմը 833≈4.62383≈4.62 սմ է։

3)Քառակուսու անկյունագիծը 20 սմ է: Գտեք նրա կողմը։

Պատասխան՝ քառակուսու կողմը 102≈14.1410

4)Գտեք հավասարասրուն եռանկյան սրունքը և մակերեսը, եթե` ա) հիմքը 12 սմ է, իսկ հիմքին տարված բարձրությունը՝ 8 սմ, բ) հիմքը 18 սմ է, իսկ նրա հանդիպակաց անկյունը՝ 120°:

Պատասխան՝
Սրունքը՝ 63≈10.3963≈10.39 սմ,
Մակերեսը՝ 273≈46.76273≈46.76 սմ²

5)Ուղղանկյուն եռանկյան էջերն են a-ն և b-ն: Գտեք ներքնաձիգին տարված բարձրությունը, եթե`

ա) a = 5 b = 12 

բ) a = 12 b = 16 :

Պատասխան՝ h=9.6h

6)Գտեք շեղանկյան կողմը և մակերեսը, եթե նրա անկյունագծերը 10 սմ և 24 սմ են:

372

պատասխան՝

Եթե մակերեսը 72 սմ² է, ապա

• Շեղանկյան կողմը՝ մոտավորապես 10.95 սմ,
• Մակերեսը՝ 72 սմ²։

Սեղանի մակերեսը հավասար է հիմքերի կիսագումարի և բարձրության արտադրյալին:

S=1/2(AD+BC)BH

Քանի որ սեղանի հիմքերի կիսագումարը հավասար է դրա միջին գծին, ապա կարող ենք ասել,որ սեղանի մակերեսը հավասար է դրա միջին գծի ու բարձրության արտադրյալին.

S = MN ^. h

Առաջադրանքներ․

1)Սեղանի հիմքերը 12 սմ և 6 սմ են, բարձրությունը՝ 7 սմ: Գտեք սեղանի մակերեսը:

սեղանի մակերեսը 63 սմ² է:

2)Սեղանի հիմքերը 15 դմ և 5 դմ են, մակերեսը՝ 60 դմ² : Գտե՛ք սեղանի բարձրությունը:

սեղանի բարձրությունը 6 դմ է

3)Սեղանի միջին գիծը 13 սմ է, բարձրությունը`8 սմ: Գտեք սեղանի մակերեսը:

սեղանի մակերեսը 104 սմ² է։

4)35 սմ² մակերեսով սեղանի հիմքերը հարաբերում են ինչպես 2:3: Գտե՛ք եռանկյունների մակերեսները, որոնց տրոհվում է սեղանը իր անկյունագծով:

Սեղանի անկյունագծով տրոհված յուրաքանչյուր եռանկյունի ունի 17.5 սմ² մակերես։

5)Սեղանի բարձրությունը հավասար է փոքր հիմքին և երեք անգամ փոքր է մեծ հիմքից: Գտեք սեղանի մեծ հիմքը, եթե մակերեսը 72 դմ² է:

Սեղանի մեծ հիմքը մոտավորապես 11.4 դմ է։

6)CK-ն ABCD հավասարասրուն սեղանի C գագաթից AD մեծ հիմքին տարված բարձրությունն է: Գտեք սեղանի մակերեսը, եթե CK = 6 սմ, AK = 9 սմ:

Սեղանի մակերեսը 54 սմ² է։