1)Գտե՛ք թիվ, որի քառակուսին հավասար է՝

ա)4

2

բ)100

10

գ)-6

չունի

դ)81

9

ե)-0,25

չունի

զ)0

0

է)0,09

0,3

ը)1,21

1,1

2)Հաշվե՛ք․

ա)2 + √1=3

բ)15 — √36=9

գ)√9 + √4=5

դ)√16 + √25=9

ե)√49 — √1=6

զ)√81 — √49=2

է)√100 — √36=4

ը)√144 — √121=1

թ)√0,36 + √0,49=1,3

3)Հաշվե՛ք․

ա)2 • √81=18

բ)1/3 • √100=1/3•10

գ)√4 • √0,25=1

դ)√0,16 • √9=1,2

ե)√0,27 : √3=0,27/3

զ)√49 : √0,01=0,7

է)√1/9 • √81=0,999…

ը)√0,36 : √1/36=0,6/1/36

թ)√1,69 : √0,0625=5,2

4)Հաշվե՛ք․

ա)(√2)² =2

բ)(√3)² =3

գ)(√13)² =13

դ)(√17)² =17

5)Հաշվե՛ք․

ա)

7/9

բ)

4/5

գ)

4/3

դ)

3/2

ե)

19/29

6)Համեմատե՛ք թվերը․

ա)√100 > √81

բ)√100 < √121

գ)√4 < 3

դ)1/5 < √0,25

ե)2 > √1/16

զ)9/5 > √4/49

է)√0,09 > √4/25

ը)√1/4 > 1/4

1)2, 3, -5 թվերից ո՞րն է հետևյալ համախմբի լուծում.

ա)

2; 3

բ)

3; -5

գ)

3; 2; -5

2)Լուծեք համախումբը.

ա)

3+3x-2<10-25x-3x

3-10-2<-3x-25x-3x

-9>-31x

x<9/31

8-2x-3>4x-7

-4x-2x>-8+3-7

-6x>-12

x<2

բ)

6y-2-1>4-5y

6y+5y>2+1+4

11y>7

y>7/11

6y-6<6y-6

y=R

գ)

3x+3>3x+3

լուծում չունի

2x-2<2x-2

լուծում չունի

դ)

4-4x>4-4x

լուծում չունի

5x+1<5x-1

լուծում չունի

ե)

6-3z-5z<-96+12+z

Զուգահեռագծի մակերեսը հավասար է նրա կողմի և նրան տարված բարձրության արտադրյալին:

Զուգահեռագծի բարձրությունը ուղղահայացն է, որը տարված է զուգահեռագծի կողմի ցանկացած կետից դեպի հանդիպակաց կողմը պարունակող ուղիղը:

Սովորաբար ուղղահայացը տանում են զուգահեռագծի գագաթից: Քանի որ զուգահեռագիծն ունի տարբեր երկարությամբ կողմերի երկու զույգ, ապա այն ունի տարբեր երկարությամբ երկու բարձրություն: 

BE բարձրությունը, որը տարված է երկու մեծ կողմերի միջև ավելի կարճ է, քան BF-ը, որը տարված է կարճ կողմերի միջև:  

Եթե a-ով նշանակել կողմը, իսկ h-ով բարձրությունը, ապա՝

Sզուգահեռագիծ=a⋅h

Շեղանկյան մակերեսը․

Շեղանկյան անկյունագծերը փոխուղղահայաց են և հատման կետով կիսվում են: Շեղանկյունը բաժանվում է չորս հավասար ուղղանկյուն եռանկյունների:

Շեղանկյան մակերեսի բանաձևը․

Sշեղանկյուն=d1⋅d2/2

Առաջադրանքներ․

1)Դիցուք՝ զուգահեռագծի հիմքը a-ն է, բարձրությունը՝ h-ը, իսկ մակերեսը՝ S-ը։ Գտեք՝

ա)S-ը, եթե a=15 սմ, h=12 սմ

15*12=180սմ²

բ)a-ն, եթե S=34 սմ² , h=8,5 սմ

34:8,5=4սմ

գ)h-ը, եթե S=162 սմ², a=9 սմ

162:9=18սմ

դ)a-ն, եթե h=1/2a, S=21a

21*1/2=42

a=42սմ

2)Զուգահեռագծի անկյունագիծը 13 սմ է և ուղղահայաց է զուգահեռագծի այն կողմին, որը 12 սմ է։ Գտեք զուգահեռագծի մակերեսը։

13*12=156

3)Զուգահեռագծի կից կողմերը հավասար են 12 սմ և 13 սմ, իսկ սուր անկյունը 30^o է։ Գտեք զուգահեռագծի մակերեսը։

12։2=6սմ

13*6սմ=78

4)Շեղանկյան կողմը 6 սմ է, իսկ անկյուններից մեկը՝ 150^o ։ Գտեք շեղանկյան մակերեսը։

6*3=18

5)Զուգահեռագծի կողմը 8,1 սմ է, իսկ 14 սմ-ի հավասար անկյունագիծը նրա հետ կազմում է 30^o անկյուն։ Գտեք զուգահեռագծի մակերեսը։

56,7

6)Դիցուք՝ a-ն և b-ն զուգահեռագծի կից կողմերն են, իսկ h₁-ը և h₂ -ը՝ բարձրությունները։ Գտեք՝

ա)h₂ -ը, եթե a=18 սմ, b=30 սմ, h₁ = 6 սմ, h₂ > h₁

S=a*h₂=b*h₁

a*h₂=b*h₁

h₂=30×6/18=10

h₂=b*h₁/a=30

բ)h₁ -ը, եթե a=10 սմ, b=15 սմ, h₂ =6 սմ, h₂ > h₁

15*h₁=10*h₂

h₁=10*h₂/15=10*6/15=4

h₁=4սմ

գ)h₁ -ը և h₂ -ը, եթե մակերեսը՝ S=54 սմ² , a=4,5 սմ, b=6 սմ

1)Մի քառակուսու կողմը k անգամ մեծ է մյուս քառակուսու կողմից: Գտե՛ք այդ քառակուսիների մակերեսների հարաբերությունը:

a²k²:a²=k²

2)Քառակուսաձև սենյակներից մեկի կողմը 2 անգամ փոքր է մյուսի կողմից: Գտե՛ք փոքր սենյակի մակերեսը, եթե մեծի մակերեսը 36 մ է:

6:2=3

3×3=9

3)Խոհանոցի պատը երեսապատված է 15 սմ կողմով քառակուսաձև 120 սալիկով: Քանի՞ ուղղանկյունաձև նոր սալիկ է պետք նույն պատը երեսապատելու համար, եթե նոր սալիկների կից կողմերը 10 սմ և 20 սմ են:

15*15=225

120*225=27000

10*20=200

27000:200=135

4)Գտե՛ք 54 սմ պարագծով ուղղանկյան մակերեսը, եթե՝
ա) կից կողմերից մեկը մյուսից մեծ է 3 սմ–ով,

54-6=48

48:4=12

12+3=15

15*12=180

բ) կից կողմերը հարաբերում են, ինչպես 4 : 5,

54:18=3

3*4=12

3*5=15

15*12=180
գ) կողմերից մեկը (b + 17) սմ է:

2a+2b+34=54

54-34=20

20:2=10

(10-b)(b+17)

Առաջադրանքներ․

1)Քառակուսու պարագիծը 32 սմ է, իսկ ուղղանկյան կողմերից մեկը՝ 45 սմ։ Գտեք այդ ուղղանկյան մյուս կողմը, եթե հայտնի է, որ նրա և քառակուսու մակերեսները հավասար են։

Այսպես ստացվում է, որ ուղղանկյան մյուս կողմը մոտ 1.42 սմ է

2)Տրված է ABCD քառակուսին։ AD ճառագայթի վրա վերցված է M կետն այնպես, որ <AMB=30^o, և BM=20 սմ։ Գտեք այդ քառակուսու մակերեսը։

Քառակուսու մակերեսը 100 քառակուսի սմ է։

3)Անհրաժեշտ է սենյակի՝ 5,5 մ և 6 մ կողմերով ուղղանկյունաձև հատակը ծածկել մանրահատակով։ Դրա համար քանի՞ մանրահատակ կպահանջվի, եթե այդ տախտակներից յուրաքանչյուրն ունի 30 սմ երկարությամբ և 5 սմ լայնությամբ ուղղանկյան ձև։

Սենյակը ծածկելու համար անհրաժեշտ է 220 հատ մանրահատակ։

4)ABCD ուղղանկյան A անկյան կիսորդը BC կողմը հատում է K կետում։Հայտնի է, որ BK=5սմ , KC=7սմ։ Գտեք այդ ուղղանկյան մակերեսը։

Ուղղանկյան մակերեսը մոտավորապես 102.86 քառակուսի սմ է

5)15 սմ կողմով քառակուսաձև քանի՞ սալիկ կպահանջվի, որպեսզի երեսպատվի 3մ և 2,7մ կողմերով ուղղանկյունաձև պատը։

Պատի երեսպատման համար անհրաժեշտ է 360 սալիկ։

1. Տրված են այս երկու շրջանագծերը, որոնք ունեն մեկ ընդհանուր կետ:

r1-ը և r2-ը համապատասխանաբար մեծ և փոքր շրջանագծերի շառավիղներն են:

Ընտրիր ճիշտ պնդումը:

• OB>r1+r2
• r1+r2=OB
• r1+r2>OB

2. Գտիր ED-ն, եթե AC= 4 սմ, իսկ շրջանագծերի կենտրոնների միջև հեռավորությունը 5 սմ է: 

AC = AE = 4,
AD = AE + ED = 5,
ED = 5 – 4 = 1։

4)Գծիր տրված O և B կենտրոններով մեկ ընդհանուր կետ ունեցող շրջանագծեր, որոնց շառավիղները հավասար են՝ r₁=28 սմ և r₂=10 սմ:

Հաշվիր OB հեռավորությունը:

Եթե քառանկյան բոլոր կողմերը շոշափում են շրջանագիծը, ապա շրջանագիծը կոչվում է այդ քառանկյան ներգծյալ շրջանագիծ:

Ոչ բոլոր քառանկյուններն ունեն ներգծյալ շրջանագիծ, քանի որ՝ չորս անկյունների կիսորդները կարող են նույն կետում չհատվել: 

Եթե քառանկյանը ներգծվել է շրջանագիծ, ապա քառանկյան հանդիպակաց կողմերի գումարները հավասար են՝  a+c=b+d:

Եթե քառանկյան հանդիպակաց կողմերի գումարները հավասար են, ապա այդ քառանկյունն ունի ներգծյալ շրջանագիծ:

Եթե քառանկյան բոլոր գագաթները գտնվում են շրջանագծի վրա, ապա շրջանագիծը կոչվում է այդ բազմանկյան արտագծյալ շրջանագիծ:

Ոչ բոլոր քառանկյունները ունեն արտագծյալ շրջանագիծ՝ հաճախ քառանկյան համար գոյություն չի ունենում այնպիսի շրջանագիծ, որը կանցնի քառանկյան բոլոր չորս գագաթներով: 

Այս հարցը պարզվում է հետևյալ պնդման միջոցով:

Եթե քառանկյան հանդիպակաց անկյունների գումարը 180° է, ապա նրան կարելի է արտագծել շրջանագիծ:

Առաջադրանքներ․

1. Շրջանագծին արտագծած հավասարասրուն սեղանի պարագիծը: Հիմքերից մեկը 2 սմ է, իսկ մյուսը՝ 8 սմ։ Այս դեպքում կարելի է օգտագործել հա­վասարասրուն սեղանի պարագծի բանաձևը.
Պարագիծ = 2 × (հիմք 1 + հիմք 2)
Պարագիծ = 2 × (2 սմ + 8 սմ) = 2 × 10 սմ = 20 սմ։

Պատասխան: Սեղանի պարագիծը 20 սմ է:

---

2. Շրջանագծին արտագծած հավասարասրուն սեղանի հիմքերը: Ենթադրենք, փոքր հիմքը՝ xxx սմ է, իսկ մեծ հիմքը՝ 3x3x3x սմ է: Սեղանի սրունքը 8 սմ է: Արտագծված հավասարասրուն սեղանի պարագիծը կարելի է հաշվարկել հետևյալ բանաձևով՝
Պարագիծ = 2 × (հիմք 1 + հիմք 2):
Այս դեպքում՝
Պարագիծ = 2 × (x+3x)(x + 3x)(x+3x) = 2 × 4x4x4x = 8x8x8x։

Այսինքն՝ պարագիծը կախված է xxx-ից: Ուրեմն, պետք է որոշենք այս հարցը վերաբերող այլ տվյալների հետ, եթե այն կա:

---

3. Շրջանագծին արտագծած հավասարասրուն սեղանի կողմերը, եթե նրա պարագիծը 40 սմ է, իսկ հիմքերից մեկը 4 անգամ փոքր է մյուսից: Թող մեծ հիմքը լինի 4x4x4x սմ, իսկ փոքր հիմքը՝ xxx սմ:
Պարագիծ = 2 × (հիմք 1 + հիմք 2):
40 = 2 × (4x+x4x + x4x+x) = 2 × 5x5x5x
20 = 5x5x5x
x=4x = 4x=4

Այսպիսով, փոքր հիմքը 444 սմ է, իսկ մեծ հիմքը 4×4=164 \times 4 = 164×4=16 սմ է:

Պատասխան: Սեղանի հիմքերը՝ 4 սմ և 16 սմ։

---

4. Հավասարասրուն սեղանի սրունքը 8 սմ է, իսկ նրա պարագիծը 60 սմ է: Հավասարասրուն սեղանի պարագիծը՝
Պարագիծ = 2 × (հիմք 1 + հիմք 2):
60 = 2 × (x+4xx + 4xx+4x) = 2 × 5x5x5x
30 = 5x5x5x
x=6x = 6x=6

Այսպիսով, փոքր հիմքը 666 սմ է, իսկ մեծ հիմքը 4×6=244 \times 6 = 244×6=24 սմ է:

Պատասխան: Սեղանի հիմքերը՝ 6 սմ և 24 սմ։

---

5. Հավասարասրուն սեղանի սրունքը 8 սմ է, իսկ փոքր հիմքին առընթեր անկյունների գումարը՝ 300°: Հավասարասրուն սեղանի համար որոշում ենք ներգծված շրջանագծի շառավիղը:
Այս դեպքում պետք է հաշվի առնել, որ ներգծված շրջանագծի շառավիղը կապված է սեղանի հարթության անկյունների հետ:

1)Գծագրերում գտնե՛լ ABC անկյունը․

<ABC=120° աղեղ AC=240

<CBD=30°

<ABC=130°

120°

<ABC=60°

2)Գծագրերում գտնել x աղեղը․

135°

270°

3)Գծագրերում գտնել x անկյունը․

X=39°

X=23°

4)Գտնել անհայտ անկյունները․

53°

Ըստ գծագրերի տվյալների գտեք անհայտ անկյունը․

1)

x=30°

2)

x=130

3)

x=130:2=65

4)

x=90

5)

x=240

6)

x=60

7)A, B, C և D կետերը գտնվում են շրջանագծի վրա։Ապացուցեք, որ եթե աղեղ AB = CD, ապա AB = CD:

abo=cdo ab=cd

Ըստ գծագրերի տվյալների գտնել x-ը.

ա)

360 — 232 = 128,
x = 128 : 2 = 64:

բ)

125 + 60 = 185,
x = 360 — 185 = 175:

գ)

180 + 112 = 292,
x = 360 — 292 = 68,
x = 68:2 = 34:

դ)

215 + 40 = 255,
x = 360 — 255 = 105:

2)AB կիսաշրջանագծի վրա վերցված են C և D կետերն այնպես, որ

∪AC = 57°∪BD = 63°Շրջանագծի շառավիղը 12 սմ է:

∪AC=57^o, ∪BD=63^o   

Գտեք CD լարը, եթե շրջանագծի շառավիղը 12 սմ է։

3)AOB կենտրոնային անկյունը 30^o -ով մեծ է AB աղեղին հենված ներգծյալ անկյունից։ Գտեք այդ անկյուններից յուրաքանչյուրը։

Կենտրոնական անկյունները
Շրջանագծի կենտրոնից OOO դեպի AAA, BBB, CCC և DDD կետերը ձգված շառավիղներն են։ Այսինքն, ∠AOB\angle AOB∠AOB և ∠COD\angle COD∠COD կենտրոնական անկյուններն են, որոնք հավասար են \overarcAB\overarc{AB}\overarcAB և \overarcCD\overarc{CD}\overarcCD անկյուններին։