1. Տրված են այս երկու շրջանագծերը, որոնք ունեն մեկ ընդհանուր կետ:

r1-ը և r2-ը համապատասխանաբար մեծ և փոքր շրջանագծերի շառավիղներն են:

Ընտրիր ճիշտ պնդումը:

• OB>r1+r2
• r1+r2=OB
• r1+r2>OB

2. Գտիր ED-ն, եթե AC= 4 սմ, իսկ շրջանագծերի կենտրոնների միջև հեռավորությունը 5 սմ է: 

AC = AE = 4,
AD = AE + ED = 5,
ED = 5 – 4 = 1։

4)Գծիր տրված O և B կենտրոններով մեկ ընդհանուր կետ ունեցող շրջանագծեր, որոնց շառավիղները հավասար են՝ r₁=28 սմ և r₂=10 սմ:

Հաշվիր OB հեռավորությունը:

Եթե քառանկյան բոլոր կողմերը շոշափում են շրջանագիծը, ապա շրջանագիծը կոչվում է այդ քառանկյան ներգծյալ շրջանագիծ:

Ոչ բոլոր քառանկյուններն ունեն ներգծյալ շրջանագիծ, քանի որ՝ չորս անկյունների կիսորդները կարող են նույն կետում չհատվել: 

Եթե քառանկյանը ներգծվել է շրջանագիծ, ապա քառանկյան հանդիպակաց կողմերի գումարները հավասար են՝  a+c=b+d:

Եթե քառանկյան հանդիպակաց կողմերի գումարները հավասար են, ապա այդ քառանկյունն ունի ներգծյալ շրջանագիծ:

Եթե քառանկյան բոլոր գագաթները գտնվում են շրջանագծի վրա, ապա շրջանագիծը կոչվում է այդ բազմանկյան արտագծյալ շրջանագիծ:

Ոչ բոլոր քառանկյունները ունեն արտագծյալ շրջանագիծ՝ հաճախ քառանկյան համար գոյություն չի ունենում այնպիսի շրջանագիծ, որը կանցնի քառանկյան բոլոր չորս գագաթներով: 

Այս հարցը պարզվում է հետևյալ պնդման միջոցով:

Եթե քառանկյան հանդիպակաց անկյունների գումարը 180° է, ապա նրան կարելի է արտագծել շրջանագիծ:

Առաջադրանքներ․

1. Շրջանագծին արտագծած հավասարասրուն սեղանի պարագիծը: Հիմքերից մեկը 2 սմ է, իսկ մյուսը՝ 8 սմ։ Այս դեպքում կարելի է օգտագործել հա­վասարասրուն սեղանի պարագծի բանաձևը.
Պարագիծ = 2 × (հիմք 1 + հիմք 2)
Պարագիծ = 2 × (2 սմ + 8 սմ) = 2 × 10 սմ = 20 սմ։

Պատասխան: Սեղանի պարագիծը 20 սմ է:

---

2. Շրջանագծին արտագծած հավասարասրուն սեղանի հիմքերը: Ենթադրենք, փոքր հիմքը՝ xxx սմ է, իսկ մեծ հիմքը՝ 3x3x3x սմ է: Սեղանի սրունքը 8 սմ է: Արտագծված հավասարասրուն սեղանի պարագիծը կարելի է հաշվարկել հետևյալ բանաձևով՝
Պարագիծ = 2 × (հիմք 1 + հիմք 2):
Այս դեպքում՝
Պարագիծ = 2 × (x+3x)(x + 3x)(x+3x) = 2 × 4x4x4x = 8x8x8x։

Այսինքն՝ պարագիծը կախված է xxx-ից: Ուրեմն, պետք է որոշենք այս հարցը վերաբերող այլ տվյալների հետ, եթե այն կա:

---

3. Շրջանագծին արտագծած հավասարասրուն սեղանի կողմերը, եթե նրա պարագիծը 40 սմ է, իսկ հիմքերից մեկը 4 անգամ փոքր է մյուսից: Թող մեծ հիմքը լինի 4x4x4x սմ, իսկ փոքր հիմքը՝ xxx սմ:
Պարագիծ = 2 × (հիմք 1 + հիմք 2):
40 = 2 × (4x+x4x + x4x+x) = 2 × 5x5x5x
20 = 5x5x5x
x=4x = 4x=4

Այսպիսով, փոքր հիմքը 444 սմ է, իսկ մեծ հիմքը 4×4=164 \times 4 = 164×4=16 սմ է:

Պատասխան: Սեղանի հիմքերը՝ 4 սմ և 16 սմ։

---

4. Հավասարասրուն սեղանի սրունքը 8 սմ է, իսկ նրա պարագիծը 60 սմ է: Հավասարասրուն սեղանի պարագիծը՝
Պարագիծ = 2 × (հիմք 1 + հիմք 2):
60 = 2 × (x+4xx + 4xx+4x) = 2 × 5x5x5x
30 = 5x5x5x
x=6x = 6x=6

Այսպիսով, փոքր հիմքը 666 սմ է, իսկ մեծ հիմքը 4×6=244 \times 6 = 244×6=24 սմ է:

Պատասխան: Սեղանի հիմքերը՝ 6 սմ և 24 սմ։

---

5. Հավասարասրուն սեղանի սրունքը 8 սմ է, իսկ փոքր հիմքին առընթեր անկյունների գումարը՝ 300°: Հավասարասրուն սեղանի համար որոշում ենք ներգծված շրջանագծի շառավիղը:
Այս դեպքում պետք է հաշվի առնել, որ ներգծված շրջանագծի շառավիղը կապված է սեղանի հարթության անկյունների հետ:

1)Գծագրերում գտնե՛լ ABC անկյունը․

<ABC=120° աղեղ AC=240

<CBD=30°

<ABC=130°

120°

<ABC=60°

2)Գծագրերում գտնել x աղեղը․

135°

270°

3)Գծագրերում գտնել x անկյունը․

X=39°

X=23°

4)Գտնել անհայտ անկյունները․

53°

Ըստ գծագրերի տվյալների գտեք անհայտ անկյունը․

1)

x=30°

2)

x=130

3)

x=130:2=65

4)

x=90

5)

x=240

6)

x=60

7)A, B, C և D կետերը գտնվում են շրջանագծի վրա։Ապացուցեք, որ եթե աղեղ AB = CD, ապա AB = CD:

abo=cdo ab=cd

Ըստ գծագրերի տվյալների գտնել x-ը.

ա)

360 — 232 = 128,
x = 128 : 2 = 64:

բ)

125 + 60 = 185,
x = 360 — 185 = 175:

գ)

180 + 112 = 292,
x = 360 — 292 = 68,
x = 68:2 = 34:

դ)

215 + 40 = 255,
x = 360 — 255 = 105:

2)AB կիսաշրջանագծի վրա վերցված են C և D կետերն այնպես, որ

∪AC = 57°∪BD = 63°Շրջանագծի շառավիղը 12 սմ է:

∪AC=57^o, ∪BD=63^o   

Գտեք CD լարը, եթե շրջանագծի շառավիղը 12 սմ է։

3)AOB կենտրոնային անկյունը 30^o -ով մեծ է AB աղեղին հենված ներգծյալ անկյունից։ Գտեք այդ անկյուններից յուրաքանչյուրը։

Կենտրոնական անկյունները
Շրջանագծի կենտրոնից OOO դեպի AAA, BBB, CCC և DDD կետերը ձգված շառավիղներն են։ Այսինքն, ∠AOB\angle AOB∠AOB և ∠COD\angle COD∠COD կենտրոնական անկյուններն են, որոնք հավասար են \overarcAB\overarc{AB}\overarcAB և \overarcCD\overarc{CD}\overarcCD անկյուններին։

Առաջադրանքներ․

1.Որքա՞ն է ներգծյալ անկյունը, որը հենված է 28° աստիճանային չափով աղեղի վրա:

Ներգծյալ անկյունը, որը հենված է աղեղի վրա, հավասար է այդ աղեղի կեսին:

Պատասխան: Ներգծյալ անկյունը կլինի 28° / 2 = 14°:

2.Դիցուք BAC անկյունը 35° է: Որքա՞ն է BnC աղեղի աստիճանային չափը։

Բացատրություն. Երբ BAC անկյունը տրվում է, ապա աղեղի չափը հաշվարկելու համար պետք է գիտակցել, որ Բաքու ամեն արշավելու դեպքում աղեղը կլինի երկակի անկյան չափը:

Պատասխան: Աղեղի աստիճանային չափը կլինի 35° × 2 = 70°:

3.Գտիր ASB անկյունը, եթե ASB աղեղի աստիճանային չափը 268° է:

Ներգծյալ անկյունը հավասար է աղեղի կեսին:

Պատասխան: ASB անկյունը կլինի 268° / 2 = 134°:

4.Գտիր BOC և BAC անկյունները, եթե ∪AB=130° ∪AC=150° ։

Այսպիսի հարցի լուծման համար անհրաժեշտ է օգտագործել հարաբերությունները, երբ երկու աղեղները միևնույն կենտրոնում է։

1. BOC անկյունը որոշելու համար՝ պետք է հաշվի առնել, որ կենտրոնային անկյունը հավասար է աղեղի չափին: Իսկ BAC անկյունը կլինի այդ աղեղի կեսը:

Պատասխան. BOC անկյունը կլինի 130°: BAC անկյունը՝ 130° / 2 = 65°:

5.Հաշվիր AOB եռանկյան անկյունները, եթե ∪AB=100°։

Եթե համարը տալիս է ամբողջական փոփոխություն միայն մեկ աստիճանում:

Պատասխան. AOB եռանկյակի երեք անկյունները գումարով պետք է հասնեն 180°: Եթե ∪AB = 100°, ապա մնացած երկու անկյունները կլինեն՝

AOB անկյունը=180°−100°=80°\text{AOB անկյունը} = 180° — 100° = 80°AOB անկյունը=180°−100°=80°

6. ACB աղեղի աստիճանային չափը 260° է: Գտիր AOB և ACB անկյունները:

Պատասխան. ACB աղեղի չափը 260° է:

• ACB անկյունը կլինի 260° / 2 = 130° (այս անկյունը կապվում է ուղիղ շրջադարձի միջոցով):
• AOB անկյունը կլինի մնացած մասը՝ 180° — 130° = 50°:

Պրիզմա

 կոչվում է այն բազմանիստը, որի երկու նիստերը զուգահեռ հարթություններում ընկած հավասար բազմանկյուններ են, իսկ մնացած նիստերը զուգահեռագծեր են:

Զուգահեռ հարթություններում գտնվող հավասար նիստերը կոչվում են պրիզմայի հիմքեր, իսկ մնացած նիստերը՝ կողմնային նիստեր:

Հիմքերից կախված պրիզմաները լինում են եռանկյուն՝

քառանկյուն՝

վեցանկյուն և այլն

Եթե պրիզմայի կողմնային կողերը ուղղահայաց են հիմքերին, ապա այն կոչվում է ուղիղ պրիզմա: Այդպիսին են վերևի նկարներում ցուցադրված բոլոր պրիզմաները:

Հակառակ դեպքում, երբ կողմնային կողերը ուղղահայաց չեն հիմքերին, պրիզման կոչվում է թեք:

Պրիզման կոչվում է կանոնավոր, եթե նրա հիմքերը կանոնավոր բազմանկյուններ են:

n-անկյուն պրիզման ունի 3n կող, 2n գագաթ, n+2 նիստ, ընդ որում՝ նիստերից 2-ը հիմքերն են, իսկ n-ը՝ կողմնային նիստերը։

Առաջադրանքներ․

1)Քանի՞ նիստ ունի յոթանկյուն պրիզման:

n=7

7+2=9

2)Գտեք վեցանկյուն պրիզմայի կողերի, գագաթների, նիստերի թվերը:

6*3=18

6*2=12

6+2=8

3)Կարո՞ղ է պրիզմայի կողերի թիվը լինել՝
ա) 13
բ) 14
գ) 18

4)Ի՞նչ բազմանկյուն է պրիզմայի հիմքը, եթե պրիզման ունի 
ա) 18 կող

18:3=6
բ) 24 կող

24:3=8
գ) 9 նիստ

9-2=7

5)Կարո՞ղ է պրիզմայի նիստերի թիվը լինել՝
ա) 13 կարող է
բ) 14 կարող է
գ) 18 կարող է

6)Պրիզմայի գագաթների և կողերի թվերի գումարը 30 է: Քանի՞ նիստ,կող և գագաթ ունի այդ պրիզման:

2n+3n=30

30:5=n

n=6

6*2=12

6*3=18

Նիստ

6+2=8/

Բուրգի մասին դուք նախնական տեղեկություններ ունեք: Հին աշխարհի յոթ հրաշալիքներից են Եգիպտական բուրգերը:

Բուրգն այն բազմանիստն է, որի նիստերից մեկը բազմանկյուն է, իսկ մյուս բոլոր նիստերն ընդհանուր գագաթով եռանկյուններ են:

Բազմանկյունը կոչվում է բուրգի հիմք, իսկ նույն գագաթով եռանկյունները՝ կողմնային նիստեր: Բուրգի գագաթից հիմքի հարթությանն իջեցված ուղղահայացը կոչվում է բուրգի բարձրություն:

Եթե բուրգի հիմքը n-անկյուն բազմանկյուն է, ապա բուրգն անվանում են n-անկյուն բուրգ:

n-անկյուն բուրգն ունի 2n կող, որոնցից n-ը հիմքի կողերն են, իսկ n-ը՝ կողմնային կողերը:

n-անկյուն բուրգն ունի n+1 նիստ, որոնցից 1-ը հիմքն է, իսկ n-ը՝ կողմնային նիստերը:

n-անկյուն բուրգն ունի n+1 գագաթ, որոնցից 1-ը բուրգի գագաթն է, իսկ n-ը՝ հիմքի գագաթներն են:

Առաջադրանքներ․

1)Բերված մարմիններից ո՞րն է բուրգը:

սա է բուրգ։

2)Քանի՞ նիստ ունի իննանկյուն բուրգը:

10 նիստ ունի։

3)Գտեք 8-անկյուն բուրգի կողերի, նիստերի և գագաթների թվերը։

16 նիստ 1 գագաթ։

4)Գտիր 45-անկյուն բուրգի կողերի թիվը:

90 կողմ։

5)Ինչպե՞ս է կոչվում բուրգը, եթե այն ունի՝

ա)6 նիստ

բազմանկյուն

բ)10 գագաթ

գ)12 կող

կողմնային կողմեր

6)Կարո՞ղ է լինել այնպիսի բուրգ, որն ունի՝

ա)9 նիստ

այո

բ)9 կող

ոչ

7)Քառանկյուն բուրգի հիմքը 64 սմ պարագծով քառակուսի է, իսկ կողմնային նիստերը հավասարակողմ եռանկյուններ են։Գտեք բուրգի կողմնային կողերը։

1)Ո՞ր պատկերն է կոչվում բազմանկյուն։Գծե՛ք բազմանկյուն, ցույց տվեք գագաթը,կողմերը։

բոլոր հատվածները չեկ գտնվում մի ուղիղի վրա, իսկ ոչ կից հատվածները ընդանուր կետ չունեն։ Այդպիսի պատակերը կողվում է բազմանկյուն։ A, B, C …… E, F կետերը կոչվում են բազմանկյան գագաթներ։ AB, BC …… EF հատվածները կոչվում են բազմանկյան կողմեր։

2)Ո՞ր բազմանկյուններն են կոչվում ուռուցիկ։Գծե՛ք ուռուցիկ և ոչ ուռուցիկ բազմանկյուններ, ցույց տվեք անկյունները։

Բազմանկյունը կոչվումէ ուռուցիկ եթե այն ընկած է իր ցանկացաց երկու հարևան գագաթներով անցնող ուղիղի մի կողմում

3)Գրեք ուռուցիկ n-անկյան անկյունների գումարի հաշվման բանաձևը։

(n — 2) x 180:

4)Ինչի՞ է հավասար ուռուցիկ հնգանկյան անկյունների գումարը։

(5 — 2) x 180 = 540

5)Սահմանեք զուգահեռագիծը։ Զուգահեռագիծը արդյո՞ք ուռուցիկ քառանկյուն է։

Զուգահեռագիծ կոչվում է այն քառանկյունը, որի հանդիպակած կողմերը զույգ առ զույգ զուգահեռ են։

Զուգահեռագիծը ուռոցիք քառանկյուն է։

6)Ի՞նչ է եռանկյան միջին գիծը։ Գծե՛ք եռանկյուն, տարե՛ք միջին գիծը և գրեք միջին գծի հաշվման

բանաձևը։ ։

Եռանկյան միջին գիծը եռանկյան երկու կողմերի միջնակետերը միացնող հատվածն է։ Ամեն եռանկյուն ունի երեք միջին գիծ։

DE = AC/2

7)Ո՞ր քառանկյունն է կոչվում սեղան։ Ինչպե՞ս են կոչվում սեղանի կողմերը։

Սեղան կոչվում է այն քառանկյունը, որի երկու կողմերը զուգահեռ են, իսկ մյուս երկու կողմերը զուգահեռ չեն։Զուգահեռ կողմերը կոչվումեն սեղանի հիմքեր, իսկ երկու մյուս կողմերը ՛ սրունքներ:

8)Ո՞ր սեղանն է կոչվում հավասարասրուն, ո՞րը՝ ուղղանկյուն։ Գծեք օրինակներ։

Սեղանը կոչվում է հավասարասրուն եթե նրա սրունքները հավասար են։

Սեղանը, որի որևէ անկյունն ուղիղ է կոչվում է ուղղանկյուն սեղան։

9)Ի՞նչ է սեղանի միջին գիծը։ Գծե՛ք սեղան, տարե՛ք միջին գիծը և գրեք միջին գծի հաշվման բանաձևը։

Սեղանի միջին գիծը զուգահեռ է հիմքերին և հավասար է նրանց կիսագումարին։

BC + AD/2

10)Ո՞ր քառանկյունն է կոչվում ուղղանկյուն։

ուղանկյուն կոչվում է այն զուգահեռագիծը, որի բոլոր անկյուները ուղիղ են։

11)Ո՞ր քառանկյունն է կոչվում շեղանկյուն։

Շեղանկյուն կոչվում է այն զուգահեռագիծը, որի բոլոր կողմերը հավասար են։

12)Ո՞ր քառանկյունն է կոչվում քառակուսի։

քառակուսի կոչվում է այն ուղանկյունը, որի բոլոր կողմերը հավասար են։

Առաջադրանքներ․

1)Ուղղանկյան անկյունագծերի հատման կետի հեռավորությունը մեծ կողմից 4սմ է, իսկ փոքր կողմից՝ 6սմ։ Գտեք ուղղանկյան պարագիծը։

2)Գտեք ABCD ուղղանկյան պարագիծը, եթե A անկյան կիսորդը տրոհում է՝

BC=45,6+7,85=53, AB=EC=7,85 P=53,45+7j8=61,3

ա)BC կողմը 45,6սմ և 7,85սմ երկարությամբ հատվածների

բ)DC կողմը 2,7դմ և 4,5դմ երկարությամբ հատվածների

3)ABCD ուղղանկյան անկյունագծերը հատվում են O կետում։ Գտեք AOB եռանկյան պարագիծը, եթե <CAD = 30^o, AC = 12սմ։

Լրացուցիչ աշխատանք (տանը).

1)Ուղղանկյան կից կողմերից մեկը 10սմ է, իսկ մյուսը՝ 13սմ։ Գտե՛ք ուղղանկյան պարագիծը։

2)ABCD ուղղանկյան AB կողմը 6սմ է, իսկ BDA անկյունը՝ 30^o։ Գտե՛ք AC անկյունագիծը։

3)ABCD ուղղանկյան անկյունագծերը հատվում են O կետում, E-ն AB կողմի միջնակետն է, <BAC = 50^o։ Գտեք <AOE-ն։