1)Գլանաձև բաժակը կիսով չափ լցված է թեյով։Գոլորշիանալուց հետո թեյի հետքը մնացել էր բաժակի պատերին։ Երկրաչափական ի՞նչ պատկեր է այդ հետքը։

Շրջանագիծ : 

2)Գլանի առանցքային հատույթը քառակուսի է։ Գտեք գլանի ծնորդի և շառավիղի երկարությունների հարաբերությունը։

L = 2r ; L/r = 2/1 

3)Գլանի առանցքային հատույթը 40 սմ պարագծով մի ուղղանկյուն է, որի անկյունագծերը փոխուղղահայաց են։ Գտեք գլանի շառավիղը։

4)Գլանի առանցքային հատույթը մի ուղղանկյուն է, որի անկյունագիծը ծնորդ հանդիսացող կողմի հետ կազմում է 60^o -ի անկյուն։ Գտեք այդ անկյունագիծը, եթե գլանի ծնորդի երկարությունը 6 սմ է։

1) AB և CD հատվածները O կենտրոնով շրջանագծի տրամագծեր են: Հաշվեք AOD եռանկյան պարագիծը, եթե հայտնի է, որ CB=13սմ, AB=16սմ:

Քանի որ բոլոր շառավիղերը հավասար են DO=AD=16:2=8 Անկյունները հավասար են ը այդ անկյունը կազմող կողմերը իրար հավասար են քանի որ շրջանագիծ է 8+8+13=29

2) Շրջանագծի A կետով տարված են շոշափող և շառավիղին հավասար լար: Գտեք դրանց կազմած անկյունը:

Ստացվում է հավասարասրուն եռանկյուն հետևաբար 180:3=60

3) AB ուղիղը B կետում շոշափում է O կենտրոնով և r=1,5սմ շառավիղով շրջանը: Գտեք ABO եռանկյան անկյունները, եթե AO=3սմ:

ըստ քառանկյուն-երանկյան հայտանիշի <A=30 <B=90 180-(30+90)=60

Լրացուցիչ(տանը)

4) Շրջանագծի շառավիղին հավասար AB լարի ծայրակետերով տարված են այդ շրջանագծի շոշափողներ, որոնք հատվում են C կետում: Գտեք ABC եռանկյան անկյունները:

OAB=Հավասարակողմ եռ․ => AC=BC => <OBA=<OAB=30

180-30=150

5) Տրված է O կենտրոնով և 4,5 սմ շառավիղով շրջանագիծ: A կետն այնպես է, որ AO=9սմ: A կետով տարված են այդ շրջանագծի երկու շոշափողներ: Գտեք դրանց կազմած անկյունը:

Եթե AO=9, իսկ OB=4.5 => AOB=AOC= 30

30*2=60

Առաջադրանքներ․

1)Ճիշտ են արդյո՞ք հետևյալ պնդումները:

ա)Եթե ուղիղը շրջանագծի շոշափողն է, ապա այն ունի շրջանագծի հետ երկու ընդհանուր կետ:

• ոչ
• այո

Եթե շրջանագծի կենտրոնի հեռավորությունն ուղղից հավասար է շրջանագծի շառավղին, ապա շրջանագիծն ու ուղիղը ունեն մեկ ընդհանուր կետ:

բ)Եթե ուղիղը շրջանագծի հետ ունի ընդհանուր կետ, ապա այն հանդիսանում է շրջանագծի հատող:

• այո
• ոչ

գ)Ուղիղն ու շրջանագիծը կարող են ունենալ միայն երկու ընդհանուր կետ:

• ոչ
• այո

2)Տրված է՝ ∢CAO=29°

Հաշվիր՝

∢ABO= 29 

∢COA= O-ն շրջանի կենտրոնն է, ուստի ∠COA-ը կլինի կենտրոնական անկյունը։ Կենտրոնական անկյունը երկու անգամ մեծ է նրանից, ինչը անցնում է AB կետի վրա: Հետևաբար, ∠COA = 2 × ∠CAO = 2 × 29° = 58°։

3)Տրված է A անկյունը, որի կողմերը շոշափում են O կենտրոնով և 6 սմ շառավղով շրջանագիծը: Հաշվիր OA հատվածի երկարությունը, եթե ∡A=60°:

OA = 3 

4)Շրջանագծին A, C և E կետերում տարված են AB, BD և DE շոշափողները, իսկ AB=8 սմ: Որոշիր ACE եռանկյան պարագիծը:

Պատ. ՝ 3 * 8 =24

Առաջադրանքներ․

1)Դիցուք՝ d-ն r շառավիղով շրջանագծի կենտրոնի հեռավորությունն է p ուղղից։ Գծե՛ք և ցույց տվեք ինչպե՞ս են միմյանց նկատմամբ դասավորված շրջանագիծը և p ուղիղը, եթե՝

ա)r=16սմ, d=12սմ

Քանի որ  d < r , ուղիղը կտրում է շրջանագիծը երկու կետով:

բ)r=5սմ, d=4,2սմ

 d < r , ուղիղը կրկին կտրում է շրջանագիծը:

գ)r=7,2դմ, d=3,7դմ

d < r , ուղիղը կտրում է շրջանագիծը:

դ)r=8սմ, d=1,2դմ

d > r , ուղիղը չի կտրում շրջանագիծը:

ե)r=5սմ, d=50մմ

d = r

Պետք է հիշել, որ՝

Եթե  d > r, Ուղիղը չի կտրում շրջանագիծը (չունի ընդհանուր կետ):

• Եթե  d = r, Ուղիղը շոշափում է շրջանագիծը (1 ընդհանուր կետ):

• Եթե  d < r, Ուղիղը կտրում է շրջանագիծը (2 ընդհանուր կետ):

2)ABC եռանկյան մեջ AB=10 սմ, <C = 90^o, <B = 30^o :Տարե՛ք A կենտրոնով շրջանագիծ։ Ինչպիսի՞ն պետք է լինի այդ շրջանագծի շառավիղը, որպեսզի BC ուղիղը՝

ա)շոշափի շրջանագիծը

բ)շրջանագծի հետ չունենա ընդհանուր կետ

գ)շրջանագծի հետ ունենա ընդհանուր կետեր։

ա) BC ուղիղը շոշափի շրջանագիծը:

Շրջանագծի շառավիղը պետք է հավասար լինի  d , այսինքն՝  r = 5 :

բ) BC ուղիղը չունենա ընդհանուր կետեր:

 r <5

գ) BC ուղիղը ունենա ընդհանուր կետեր:

r > 5

 
3)Տրված է ABCD քառակուսին, որի անկյունագիծը 6 սմ է։ Տանել շրջանագիծ, որի կենտրոնը լինի A-ն։ Ի՞նչ երկարություն պետք է ունենա շրջանագծի շառավիղը, որպեսզի BD անկյունագիծն ընդգրկող ուղիղը լինի՝

ա)շրջանագծի շոշափող

բ)շրջանագծի հատող

ա) BD-ն լինի շոշափող:

Շառավիղը պետք է լինի քառակուսու կողմի կեսը՝  r = 3 սմ:

բ) BD-ն լինի հատող:

Շառավիղը պետք է լինի  r > 3 սմ:

4)AB և CD հատվածները O կենտրոնով շրջանագծի տրամագծեր են։Հաշվեք AOD եռանկյան պարագիծը, եթե հայտնի է, որ CB=13 սմ, AB=16 սմ։

1. Տրամագծի երկարությունը՝  AB = CD = 16 սմ:

2. AOD եռանկյունը ունի երկու հավասար կողմեր՝  OA = OD = 8 սմ:

3. Պարագիծը՝

 P = OA + OD + AD = 8 + 8 + 13 = 29սմ:

Առաջադրանքներ․

1)Դիցուք՝ d-ն r շառավիղով շրջանագծի կենտրոնի հեռավորությունն է p ուղղից։ Գծե՛ք և ցույց տվեք ինչպե՞ս են միմյանց նկատմամբ դասավորված շրջանագիծը և p ուղիղը, եթե՝

ա)r=16սմ, d=12սմ

բ)r=5սմ, d=4,2սմ

գ)r=7,2դմ, d=3,7դմ

դ)r=8սմ, d=1,2դմ

ե)r=5սմ, d=50մմ

2)ABC եռանկյան մեջ AB=10 սմ, <C = 90^o, <B = 30^o :Տարե՛ք A կենտրոնով շրջանագիծ։ Ինչպիսի՞ն պետք է լինի այդ շրջանագծի շառավիղը, որպեսզի BC ուղիղը՝

ա)շոշափի շրջանագիծը

բ)շրջանագծի հետ չունենա ընդհանուր կետ

գ)շրջանագծի հետ ունենա ընդհանուր կետեր։

3)Տրված է ABCD քառակուսին, որի անկյունագիծը 6 սմ է։ Տանել շրջանագիծ, որի կենտրոնը լինի A-ն։ Ի՞նչ երկարություն պետք է ունենա շրջանագծի շառավիղը, որպեսզի BD անկյունագիծն ընդգրկող ուղիղը լինի՝

ա)շրջանագծի շոշափող

բ)շրջանագծի հատող

4)AB և CD հատվածները O կենտրոնով շրջանագծի տրամագծեր են։Հաշվեք AOD եռանկյան պարագիծը, եթե հայտնի է, որ CB=13 սմ, AB=16 սմ։

16 : 2 = 8սմ

8 + 8 + 13 = 29սմ

Պատասխան․ 29սմ ՛

Առաջադրանքներ․

1)Հաշվիր CA -ն, եթե CD=8 սմ և ∢AOD=120°

Պատասխան ՝ 4

2)Տրված են շրջանագիծ և մի քանի հատվածներ: Որո՞նք են դրանցից հանդիսանում շառավիղներ, լարեր և տրամագծեր:

շառավիղ ՝ EA; NA; DA; CA;

լար ՝ FC; GB;

տրամագիծ ՝ CAP; NAC; EAB; NAB

3) Ընտրիր շրջանագծի լարը:

Կարող են լինել մի քանի ճիշտ պատասխաններ:

MN; NK; KL;
4) Ո՞ր հատվածներն են հանդիսանում շրջանագծի տրամագիծ:

EG; HF;
5) Տրված է՝ MN=7սմ, ∢ONM=60°։Գտիր՝ KN-ը։

KN = 14

6)ABCD զուգահեռագծի B  գագաթից АD կողմին տարված է  BH բարձրությունը, որ AB կողմի հետ կազմում է 40 աստիճանի անկյուն։ Գտեք զուգահեռագծի բոլոր անկյունները։

7)Զուգահեռագծի պարագիծը 100սմ է:Նրա կողմերից մեկը մյուսից մեծ է 10սմ-ով: Գտեք զուգահեռագծի կողմերը:

այն զուգահեռագիծը, որի բոլոր անկյունները ուղիղ են։

Ուղղանկյանի հատկությունները.

1. Հանդիպակաց կողմերը հավասար են. AB=CDAB = CDAB=CD, BC=ADBC = ADBC=AD.
2. Յուրաքանչյուր անկյունը 90° է.
3. Անկյունագծերը հատման կետով կիսվում են.
4. Անկյունագիծը ուղղանկյունը բաժանում է երկու հավասար ուղղանկյուն եռանկյունների.
5. Անկյունագծին առընթեր խաչադիր անկյունները հավասար են.
6. Ուղղանկյան անկյունագծերը հավասար են՝ BD=ACBD = ACBD=AC.

Առաջադրանքներ

1. Ուղղանկյան անկյունագծերի հատման կետի հեռավորությունը մեծ կողմից 4սմ է, իսկ փոքրից՝ 6սմ: Գտեք ուղղանկյան պարագիծը:

Ուղղանկյան կողմերը կլինի AB=6 սմAB = 6 \, \text{սմ}AB=6սմ, BC=4 սմBC = 4 \, \text{սմ}BC=4սմ:Պարագիծ=2×(AB+BC)=2×(6+4)=20 սմ\text{Պարագիծ} = 2 \times (AB + BC) = 2 \times (6 + 4) = 20 \, \text{սմ}Պարագիծ=2×(AB+BC)=2×(6+4)=20սմ

2. Գտեք ABCD ուղղանկյանի պարագիծը, եթե A անկյան կիսորդը տրոհում է՝

ա) BC կողմը 45,6սմ և 7,85սմ երկարությամբ հատվածների:BC=45.6+7.85=53.45 սմBC = 45.6 + 7.85 = 53.45 \, \text{սմ}BC=45.6+7.85=53.45սմ AD=BC=53.45 սմAD = BC = 53.45 \, \text{սմ}AD=BC=53.45սմ

Բացի այդ, AB+CD=53.45AB + CD = 53.45AB+CD=53.45 (հանդիպակաց կողմերը հավասար են):Պարագիծ=2×(AB+AD)=2×(53.45+AB)\text{Պարագիծ} = 2 \times (AB + AD) = 2 \times (53.45 + AB)Պարագիծ=2×(AB+AD)=2×(53.45+AB)

Բայց ABABAB անծանոթ է, ուստի ավելորդ տվյալ է պետք:

բ) DC կողմը 2,7դմ և 4,5դմ երկարությամբ հատվածների:DC=2.7+4.5=7.2 դմ=72 սմDC = 2.7 + 4.5 = 7.2 \, \text{դմ} = 72 \, \text{սմ}DC=2.7+4.5=7.2դմ=72սմ AD=72 սմAD = 72 \, \text{սմ}AD=72սմ Պարագիծ=2×(AB+72)\text{Պարագիծ} = 2 \times (AB + 72)Պարագիծ=2×(AB+72)

Ինչպես տեսնում ենք, այս դեպքում նույնպես պետք է ABABAB արժեքը:

3. ABCD ուղղանկյանի անկյունագծերը հատվում են O կետում։ Գտեք AOB եռանկյանի պարագիծը, եթե ∠CAD=30° \angle CAD = 30°∠CAD=30°, AC=12 սմ AC = 12 \, \text{սմ}AC=12սմ:AO=AC2=122=6 սմAO = \frac{AC}{2} = \frac{12}{2} = 6 \, \text{սմ}AO=2AC​=212​=6սմ OB=AO⋅tan⁡(30°)=6⋅13≈3.46 սմOB = AO \cdot \tan(30°) = 6 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 3.46 \, \text{սմ}OB=AO⋅tan(30°)=6⋅3​1​≈3.46սմ

AOB եռանկյանի պարագիծը:Պարագիծ=AO+OB+AB=6+3.46+6=15.46 սմ\text{Պարագիծ} = AO + OB + AB = 6 + 3.46 + 6 = 15.46 \, \text{սմ} Պարագիծ=AO+OB+AB=6+3.46+6=15.46սմ

Լրացուցիչ աշխատանք

1. Ուղղանկյան կից կողմերից մեկը 10սմ է, մյուսը՝ 13սմ։ Գտե՛ք ուղղանկյան պարագիծը:Պարագիծ=2×(10+13)=2×23=46 սմ\text{Պարագիծ} = 2 \times (10 + 13) = 2 \times 23 = 46 \, \text{սմ}Պարագիծ=2×(10+13)=2×23=46սմ

2. ABCD ուղղանկյանի AB կողմը 6սմ է, BDA անկյունը՝ 30°: Գտե՛ք AC անկյունագիծը:AC=ABcos⁡(30°)=632=6⋅23≈6.93 սմAC = \frac{AB}{\cos(30°)} = \frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{6 \cdot 2}{\sqrt{3}} \approx 6.93 \, \text{սմ}AC=cos(30°)AB​=23​​6​=3​6⋅2​≈6.93սմ

3. ABCD ուղղանկյանի անկյունագծերը հատվում են O կետում, E-ն AB կողմի միջնակետն է, ∠BAC=50° \angle BAC = 50°∠BAC=50°: Գտե՛ք ∠AOE \angle AOE∠AOE:∠AOE=2⋅∠BAC=2⋅50°=100°\angle AOE = 2 \cdot \angle BAC = 2 \cdot 50° = 100°∠AOE=2⋅∠BAC=2⋅50°=100°