1)Գծե՛ք ֆունկցիայի գրաֆիկ, որն ունի հետևյալ նշանապահպանման միջակայքերը․
ա) (- ∞, 1) -ում՝ դրական, (1, 2)-ում՝ բացասական, (2, ∞) -ում՝ դրական,
բ) (- ∞, — 2) -ում՝ դրական, (−2, 0)-ում՝ դրական, (0, 5)-ում՝ բացասական, (5, +∞) -ում՝ դրական,
գ) (- ∞, -√8)-ում՝ բացասական, (- √8, √7) -ում՝ դրական, (√7, +∞) -ում՝ բացասական:

ա. Գրաֆիկ՝ նշանապահպանման միջակայքներով՝ (- ∞, 1), (1, 2), (2, ∞)

Այս հարցում պետք է ունենալ մի ֆունկցիա, որի նշանապահպանման միջակայքները հետևյալն են՝

• (- ∞, 1) — դրական
• (1, 2) — բացասական
• (2, ∞) — դրական

Այսպիսի նշանափոխություն ունեցող ֆունկցիան կարող է լինել օրինակ f(x)=(x−1)(x−2)f(x)=(x−1)(x−2). Սա բացատրում է նշանափոխությունների և ինտերվալների ամենաբավարար լուծումը:

բ. Գրաֆիկ՝ նշանապահպանման միջակայքներով՝ (- ∞, -2), (-2, 0), (0, 5), (5, +∞)

Այս դեպքում ֆունկցիան պետք է ունենա հետևյալ նշանափոխությունները՝

• (- ∞, -2) — դրական
• (-2, 0) — դրական
• (0, 5) — բացասական
• (5, +∞) — դրական

Օրինակ, կարող է լինել f(x)=(x+2)(x)(x−5)f(x)=(x+2)(x)(x−5), որը այս նշանափոխությունները կապում է միջակայքների հետ:

գ. Գրաֆիկ՝ նշանապահպանման միջակայքներով՝ (- ∞, -√8), (-√8, √7), (√7, ∞)

Հակառակի նշանափոխությունները հետևյալն են՝

• (- ∞, -√8) — բացասական
• (-√8, √7) — դրական
• (√7, ∞) — բացասական

Ֆունկցիան կարող է լինել f(x)=(x2+8)(x2−7)f(x)=(x2+8)(x2−7).

2)Ո՞ր գրաֆիկով ֆունկցիայի նշանապահպանման միջակայքերն են.
ա) (- ∞, — 3) (0, 4)-ում՝ դրական, (–3, 0), (4, +0)-ում՝ բացասական,
բ) (- ∞, — 1) , (-1, 2)-ում՝ բացասական, (2, +0)-ում՝ դրական,
գ) (- ∞, — 2) (-1, 1)-ում՝ բացասական, (−2, −1), (1, +0)-ում՝ դրական:

ա. (- ∞, — 3) (0, 4)-ում՝ դրական, (–3, 0), (4, ∞)-ում՝ բացասական

Մասնավորապես, այս գրանցումը ամենայն հավանականությամբ ցույց է տալիս որոշակի ֆունկցիա, որտեղ նշանափոխությունները կհամապատասխանեն այս միջակայքներին:

բ. (- ∞, — 1) , (-1, 2)-ում՝ բացասական, (2, +∞)-ում՝ դրական

Այս գրաֆիկում նույնպես պետք է փնտրել այնպիսի ֆունկցիա, որն ունի նշանափոխություններ այս միջակայքներում:

գ. (- ∞, — 2) (-1, 1)-ում՝ բացասական, (−2, −1), (1, ∞)-ում՝ դրական

Այս վերը նշված գրաֆիկին պետք է ունենալ ծավալվող հատվածներ նշանափոխությունների փոխարինման համար:

3)Գծե՛ք ֆունկցիայի գրաֆիկ, որը բավարարում է հետևյալ երկու պայմաններին․
1) անցնում է կոորդինատային հարթության (2, 3) կետով,
2) (–∞, 0)-ում դրական է, (0, 1)-ում՝ բացասական, (1, +∞)-ում՝ դրական:

1. Անհրաժեշտ է, որ ֆունկցիան անցնի կոորդինատային հարթության (2, 3) կետով։
2. Ունի նշանափոխությունները՝

• (–∞, 0) — դրական,
• (0, 1) — բացասական,
• (1, +∞) — դրական:

Ֆունկցիան կարող է լինել, օրինակ, f(x)=x(x−1)(x−2)+3f(x)=x(x−1)(x−2)+3:

4)Գծե՛ք ֆունկցիայի գրաֆիկ, որը բավարարում է հետևյալ երկու պայմաններին.
1) անցնում է կոորդինատային հարթության (−2, 1), (0, −1) և (3, −1) կետերով, 
2) նշանապահպանման միջակայքերն են՝ (-∞, -1), (-1, 1) և (1, +∞):

1. Անհրաժեշտ է, որ ֆունկցիան անցնի կոորդինատային հարթության (−2, 1), (0, −1) և (3, −1) կետերով:
2. Ֆունկցիան պետք է ունենա նշանապահպանման միջակայքներ՝ (-∞, -1), (-1, 1) և (1, +∞):

Այսպիսի ֆունկցիայի հնարավոր տարբերակը կարող է լինել f(x)=(x+2)(x−3)(x+1)f(x)=(x+1)(x+2)(x−3):

5)Գծե՛ք ֆունկցիայի գրաֆիկ, որը բավարարում է հետևյալ երկու պայմաններին․
1) նշանապահպանման միջակայքերն են՝ (-∞, — 2) ,(-2, 1) և (1, +∞) ,
2) անցնում է կոորդինատային հարթության (–5, 1), (-1, -2), (2, −2) կետերով։

1. Միջակայքներն են՝ (-∞, — 2), (-2, 1) և (1, +∞):
2. Անհրաժեշտ է, որ ֆունկցիան անցնի կոորդինատային հարթության (–5, 1), (-1, -2), (2, −2) կետերով։

Այս խնդիրը լուծելու համար առաջարկում եմ ֆունկցիա՝ f(x)=(x+2)(x−1)f(x)=(x+2)(x−1):

6)Գտնել բաժանելին, եթե բաժանարարը 9 է, քանորդը՝ 7, իսկ մնացորդը՝ 5:

Բաժանելին գտնելու համար կարող ենք կիրառել բաժանման բանաձևը՝բաժանելին=բաժանարար×քանակ+մնացորդբաժանելին=բաժանարար×քանակ+մնացորդբաժանելին=9×7+5=63+5=68բաժանելին=9×7+5=63+5=68

Ավտոմատապես բաժանելին 68 է:

7)Գտնել բաժանելին, եթե բաժանարարը 7 է, քանորդը՝ 5, իսկ մնացորդը՝ 3:

38բաժանելին=7×5+3=35+3=38

Բաժանելին 38 է:

8. Գտնել բաժանելին՝ բաժանարարը 9 է, քանորդը՝ 8, իսկ մնացորդը՝ 6

բաժանելին=9×8+6=72+6=78բաժանելին=9×8+6=72+6=78

Բաժանելին 78 է:

9)Գտնել բաժանելին, եթե բաժանարարը 6 է, քանորդը՝ 4, իսկ մնացորդը՝ 1:

բաժանելին=6×4+1=24+1=25

Բաժանելին

Առաջադրանքներ․

1)Գտե՛ք պատկերված գրաֆիկով ֆունկցիայի նշանապահպանման միջակայքերը․

ա(-;-1) +

(-1;3) –

(3;+) +

բ (-;-2) –

(-2;1)+

(1;+) +

գ (-;-2) +

(-2;0) +

(0;3) –

(3;+) +

դ (-;-2) –

(-2;2) +

(2;3) –

(3;+) +

ե (-;-3) +

(-3;2) –

(2;+) +

զ (-;-2) –

(-2; 0,5) +

(0,5;+) +

2)Գծե՛ք ֆունկցիայի գրաֆիկ, որի նշանապահպանման միջակայքերը կլինեն․

ա) (−∞, −2), (−2, 1), (1, +∞),

բ) (−∞; −  4/5), (−  4/5; 0), (0; 3), (3; +∞),

գ) (−∞; 3), (3; +∞),

դ) (−∞, +∞):

3)Գծե՛ք ֆունկցիայի գրաֆիկ, որի նշանապահպանման միջակայքերի գծապատկերը կունենա հետևյալ տեսքը․

4)Ճարտարապետ Ռաֆայելը տարվա ընթացքում նախագծեց 25 առանձնատուն՝ 10 փոքր ու 15 մեծ։Փոքր առանձնատներից յուրաքանչյուրի համար նա վաստակում է 240 000 դրամ, իսկ մեծի համար՝ 450 000։
ա) Մեկ պատվերից միջինում որքա՞ն գումար է աշխատում Ռաֆայելը։

2400000+6750000=9150000

9150000:2=4575000
բ) Շինարարության ընթացքում Ռաֆայելը փոքր առանձնատուն այցելում է 7 անգամ, իսկ մեծ առանձնատուն՝ 12։ Յուրաքանչյուր այցելության ժամանակ նա ծախսում է միջինում 1500 դրամի մեքենայի վառելիք։ Տարվա ընթացքում որքա՞ն շահույթ ստացավ Ռաֆայելը։

1500*7=10500

1500*12=18000

18000+10500=28500

9150000-28500=9121500

5)Գտնել (-5; 36) միջակայքին պատկանող բոլոր ամբողջ թվերի քանակը։

36-(-5)-1=40

6)Գտնել (34; 78) միջակայքին պատկանող բոլոր ամբողջ թվերի քանակը։

78-34-1=34

7)Գտնել (23; 57] միջակայքին պատկանող բոլոր ամբողջ թվերի քանակը։

57-23=34

8)Գտնել [-3; 45) միջակայքին պատկանող բոլոր ամբողջ թվերի քանակը։

45-(-3)=48

9)Գտնել [23; 123] միջակայքին պատկանող բոլոր ամբողջ թվերի քանակը։

1)Oxy հարթության վրա շրջանագիծը տրված է հետևյալ հավասարումով.

ա) x² +y² =36,

բ) (x — 3)² + (y — 5)² = 25

Ինչի՞ են հավասար շրջանագծի կենտրոնի կոորդինատները և շառավիղը:

(0;0)

R=6

(3;5)

R=5

2)Շրջանագիծը տրված է (x + 4)² + (y — 3)² = 2, 56 հավասարումով: Նշե՛ք, թե (-4, 4), (-2, 1), (-2, 3), (-5, 4) կետերից որոնք են ընկած`

ա) շրջանագծի վրա,

բ) տրված շրջանագծով եզերված շրջանի ներսում,

(-4;4)

(-5;4)

գ) տրված շրջանագծով եզերված շրջանից դուրս:

(-2; 1)

(-2; 3)

3)Գրե՛ք r շառավիղով և O կենտրոնով շրջանագծի հավասարումը, եթե`

ա) r = 1 Օ(0, -7),

x²+(y+7)²=1

բ) r = 5 O(1, -2)

(x-1)²+(y+2)²=25

գ) r = 0,5 Օ(-3, -7)

(x+3)²+(y+7)²=0.25

4)Գրե՛ք այն շրջանագծի հավասարումը, որի կենտրոնը կոորդինատների սկզբնակետն է, և որն անցնում է՝

ա) (1, 2)

1+4=5

x²+y²=5

բ) (-3, 5),

9+25=34

x²+y²=34

գ) (4, -3) կետով

16+9=25

x²+y²=25

5)Գրե՛ք M կենտրոնով և N կետով անցնող շրջանագծի հավասարումը, եթե՝

ա) M(−1, 2), N(0, 5),

(0+1)²+9=r²

r²=10

(x+1)+(y-2)²=10

բ) M(0, 3), N(-2, 6):

1)Նշե՛ք x-ի որևէ արժեք, որի դեպքում արտահայտության արժեքը դրական է.

x=3

x=4

x=2

x=1

2)Նշե՛ք x-ի որևէ արժեք, որի դեպքում արտահայտության արժեքը բացասական է.

x=6

x=-1

x=-4

x=-5

3)Պարզե՛ք արտահայտության նշանը տրված կետում․

+

–

–

–

–

–

–

–

–

4)Գտե՛ք արտահայտության նշանը․

–

–

+

–

–

–

+

–

1)Գտե՛ք արտահայտության նշանապահպանման միջակայքերն ու այդ միջակայքերում արտահայտության նշանը.

Ա (-;-5)-

(-5;2)+

(2;+) +

Բ (-;1)

(1;2.5)

(2.5;+)

Գ (-;√7) +

(√7;√8) +

(√8;+)+

Դ (-;-2) –

(-2;√2) +

(√2;+) +

Ե (-;1)+

(1;4) –

(4;+) +

զ (-;-14348907) +

(-14348907;1024) –

(1024;+) +

2)Գտե՛ք արտահայտության նշանապահպանման միջակայքերն ու այդ միջակայքերում արտահայտության նշանը․

աx=2

x=5

x=12

(-;2) –

(2;5) +

(5;12) –

(12;+) +

բ x=1

x=3125

(-;1) +

(1;3125) –

(3125;+) +

գ (-;-10) –

(-10;11) +

(11;100) –

դ(-;-1) –

(-1;2.8) +

(2.8;4) –

(4;+) +

ե (-;-5) –

(-5;-1) +

(-1;9) –

(9;+) +

զ (-;-32) –

(-32;1) +

(1;64) –

(64;+) +

է (-;-2.2) –

(-2.2;6) +

(6;12094627905536) –

(12094627905536;+)+

ը (-;-8) –

(-8;14348907) +

(14348907;244140625) –

(244140625;+) +

թ (-;2,8) –

(2,8;9) +

(9;21,9) –

(21,9;+) +

1)Գտե՛ք A և B ծայրակետերով հատվածի միջնակետի կոորդինատները, եթե

ա) A(2; 3), B(-2; 1)

0;2

բ) A(1; 8), B(5; 5)

3;6.5

2)Գտե՛ք AB հատվածի B ծայրակետի կոորդինատները, եթե C(2; — 1) կետը այդ հատվածի միջնակետն է, իսկ A ծայրակետը ունի (3; 5) կոորդինատները:

1;-7

3)Գտե՛ք B կետի կոորդինատները, եթե այն A(3; −4) կետի համաչափն է կոորդինատների սկզբնակետի նկատմամբ:

-3;4
4)Գտե՛ք A(-2; 3) կետի` x-երի առանցքի նկատմամբ համաչափ B
կետի կոորդինատները:

-2;-3

5)Գտե՛ք C(7; 2) կետի՝ y-ների առանցքի նկատմամբ համաչափ D
կետի կոորդինատները:

-7;2

6)Ինչի՞ է հավասար A(2; — 3) կետի հեռավորությունը՝

ա) x-երի առանցքից

2;3

բ) y-ների առանցքից

-2;3

գ) կոորդինատների սկզբնակետից
7)Գտե՛ք A և B կետերի հեռավորությունը, եթե.

ա) A(1;-3), B(1; 2)

dKL=√(1-1)²+√(2+3)²=√5²=√25=5

բ) A(2; 3), B(1; −1)

dKL=√(1-2)²+√((-1-3)²=√(1+16)²=√289=17

գ) A(0; 2), B(4; -1)

dKL=√(4-0)²+√(-1-2)²=√(8-9)²=1

8)Գտեք ABC եռանկյան պարագիծը, եթե A(8; 1), B(5; -3), C(11; -3)։

AB=√(5-8)²+√(-3-1)²=√(-3-4)²=√49=7

BC=√(11-5)²+√(-3-5)²=√(6+8)²=√4=2

CA=√(11-8)²+√(-3-1)²=√(6+16)²=√484=22

P=7+2+22=31

9)Գտեք Ox առանցքի այն կետի կոորդինատները, որը գտնվում է A(5;3) կետից 5 հեռավորության վրա:

5;-3

1)Հաշվեք քառակուսային եռանդամի տարբերիչը.

ա)2x² + 5x — 3

D=b²-4ac=25+24=49

բ)x² + 6x + 9

D=36-36=0

գ)x² + 2x + 2

D=4-8=-4

դ)2x² — 5x — 7

D=25+56=81

ե)6x² + x — 2

D=1+48=49

զ)3x² + 4x + 5

D=16-60=-44

2)Լուծե՛ք քառակուսային հավասարումը.

ա)2y² — 9y + 10 = 0

D=81-80=1

x1=(-b+√D)/2a=9+1/4=2.5

x2=(-b-√D)/2a=9-1/4=2

բ)16a² — 40a + 25 = 0

D=1600-1600=0

x=40/32

գ)x² — 8x + 16 = 0

D=64-64=0

x=8-1=7

դ)9z² — 30z + 25 = 0

D=900-900=0

x=30-18=12

ե)7x² — 13x — 20 = 0

D=169+560=729

x1=(-b+√D)/2a=13+27/14=40/14

x2=(-b-√D)/2a=13-27/14=-1

1)Հաշվե՛ք հավասարման տարբերիչն ու որոշե՛ք հավասարման արմատների քանակը.

ա) x² — 3x + 1 = 0

b-4ac=9-4=5

2 արմատ

բ) x² — 4x + 4 = 0

16-16=0

1 արմատ
գ) 2x² + 3x + 1 = 0

9-8=1

2 արմատ
դ) 3x² + 5 = 0

0-60=-60

լուծում չունի
ե) 2x² — x + 1 = 0

1-8=-7

լուծում չունի

2)Լուծե՛ք քառակուսային հավասարումը.

ա) 3y² — 5y — 2 = 0

25+24=49

x1=5+7/6=2

x2=5-7/6=-1/3

բ) 9z² — 30z + 25 = 0

900-900=0

x=30+√0/18=5/3
գ) x² — 8x + 16 = 0

64-64=0

x=8+√0/1=8
դ) y² — 11y — 152 = 0

121+608=729

x1=11+√729/1=38

x2=11-√729/1=-16

ե) — 7x² + 5x = 0

d=25

x=-5+√25/-14=0
զ) 7x² — 13x — 20 = 0

169+560=729

D=5

2 արմատ

բ) x² — 4x + 4 = 0

D=16-16=0 

1 արմատ
գ) 2x² + 3x + 1 = 0

D=9-8=1

D>0

2 արմատ
դ) 3x² + 5 = 0

D=0-60=-60

Լուծում չունի
ե) 2x² — x + 1 = 0

D=1-8=-7

D<0

Լուծում չունի

2)Լուծե՛ք քառակուսային հավասարումը.

ա) 3y² — 5y — 2 = 0

D=25-24=1o

y1=-b+√D/2a=5+1/6=1
բ) 9z² — 30z + 25 = 0

D=900-900=0

y2=-b-√D/2a=5-1/6=4/6=2/3
գ) x² — 8x + 16 = 0

D=64-64=0

z1=z2
դ) y² — 11y — 152 = 0

D=121-608=-485

Լուծում չունի
ե) — 7x² + 5x = 0

D=25-0=25

X1=-b+√D/2a=-5+5/-14=0

X2=-b-√D/2a=-5-5/-14=-10/14

զ) 7x² — 13x — 20 = 0

D=169-560=-391

Լուծում չունի

3)Լուծե՛ք քառակուսային հավասարումը.

ա) 3x² — 7x + 4 = 0

49-48=1

X1=7+1/6=8/6=4/3

X2=7-1/6=1

բ) 5y² — 6y + 1 = 0

D=36-20=16

X1=6-4/10=2/10=1/5

X2=6+4/10=1
գ) x² — 10x + 25 = 0

D=100-100=0

X1=X2
դ) 2y² — 9y + 10 = 0

D=81-80=1

X1=9+1/4=10/4=5/2

X2=9-1/4=2
ե) 5a² + 26a — 24 = 0

D=676+480=1156

X1=-26+34/10=8/10=4/5

X2=-26-34/10=50/10=-5/1=-5

1)Հաշվե՛ք հավասարման տարբերիչն ու որոշե՛ք հավասարման արմատների քանակը.

ա) x² — 3x + 1 = 0 

D=5

2 արմատ

բ) x² — 4x + 4 = 0

D=16-16=0 

1 արմատ
գ) 2x² + 3x + 1 = 0

D=9-8=1

D>0

2 արմատ
դ) 3x² + 5 = 0

D=0-60=-60

Լուծում չունի
ե) 2x² — x + 1 = 0

D=1-8=-7

D<0

Լուծում չունի

2)Լուծե՛ք քառակուսային հավասարումը.

ա) 3y² — 5y — 2 = 0

D=25-24=1o

y1=-b+√D/2a=5+1/6=1
բ) 9z² — 30z + 25 = 0

D=900-900=0

y2=-b-√D/2a=5-1/6=4/6=2/3
գ) x² — 8x + 16 = 0

D=64-64=0

z1=z2
դ) y² — 11y — 152 = 0

D=121-608=-485

Լուծում չունի
ե) — 7x² + 5x = 0

D=25-0=25

X1=-b+√D/2a=-5+5/-14=0

X2=-b-√D/2a=-5-5/-14=-10/14

զ) 7x² — 13x — 20 = 0

D=169-560=-391

Լուծում չունի

3)Լուծե՛ք քառակուսային հավասարումը.

ա) 3x² — 7x + 4 = 0

49-48=1

X1=7+1/6=8/6=4/3

X2=7-1/6=1

բ) 5y² — 6y + 1 = 0

D=36-20=16

X1=6-4/10=2/10=1/5

X2=6+4/10=1
գ) x² — 10x + 25 = 0

D=100-100=0

X1=X2
դ) 2y² — 9y + 10 = 0

D=81-80=1

X1=9+1/4=10/4=5/2

X2=9-1/4=2
ե) 5a² + 26a — 24 = 0

D=676+480=1156

X1=-26+34/10=8/10=4/5

X2=-26-34/10=50/10=-5/1=-5

1)Անվանեք քառակուսային եռանդամի a, b և c գործակիցները`

ա) 3x² + 4x + 5
→ a = 3, b = 4, c = 5

բ) 6x² + x – 2
→ a = 6, b = 1, c = –2

գ) 2x² – 5x – 7
→ a = 2, b = –5, c = –7

դ) x² – x + 7
→ a = 1, b = –1, c = 7

ե) –5x² + 3x – 1
→ a = –5, b = 3, c = –1

զ) –x² + x + 1
→ a = –1, b = 1, c = 1

2)Կազմեք քառակուսային եռանդամ տրված գործակիցներով`

ա) a = 3; b = 4; c = 5
→ 3x² + 4x + 5

բ) a = 1; b = –1; c = 2
→ x² – x + 2

գ) a = 3; b = –2; c = 6
→ 3x² – 2x + 6

դ) a = –1; b = 3; c = –2
→ –x² + 3x – 2

3)Հաշվեք քառակուսային եռանդամի տարբերիչը`

ա) 2x² + 5x + 3
a = 2, b = 5, c = 3
D = 5² – 4·2·3 = 25 – 24 = 1

բ) 2x² – 5x + 3
a = 2, b = –5, c = 3
D = (–5)² – 4·2·3 = 25 – 24 = 1

գ) 2x² + 5x – 3
a = 2, b = 5, c = –3
D = 5² – 4·2·(–3) = 25 + 24 = 49

դ) x² + 2x + 1
a = 1, b = 2, c = 1
D = 2² – 4·1·1 = 4 – 4 = 0

ե) x² – 4x + 5
a = 1, b = –4, c = 5
D = (–4)² – 4·1·5 = 16 – 20 = –4

զ) –3x² + 5x – 2
a = –3, b = 5, c = –2
D = 5² – 4·(–3)·(–2) = 25 – 24 = 1

է) 2x² + 5x – 3
(Նույնն է, ինչ գ) ) → D = 49

ը) x² + 6x + 9
a = 1, b = 6, c = 9
D = 6² – 4·1·9 = 36 – 36 = 0

թ) x² + 2x + 2
a = 1, b = 2, c = 2
D = 2² – 4·1·2 = 4 – 8 = –4