Լուծեք անհավասարումը․

ա) x + 4 > 5x

x-5x<-4

x<1

(-∞;1)

բ) x — 2 < 3x

4x>2

x>-1

(-1;+∞)

գ) 2 + 1 < x

x<3

(-∞;3)

դ) 7x — 13 >9x

7x-9x<13

-2x<13

2x<-13

x<6.5

(-∞;6.5)

ե) 2x — x — 1 < 2

x<3

(-∞;3)

զ) 5x — 2x — 8x + x — 12x > 7 — 2x

-14x>7

x<-0.5

(-∞;-0.5)

է) 3 < 7x — 5 — 4x

-3x<-8

x>8/3

(8/3;+∞)

ը) 8 — 9x > x — 3 — 3x + 4x +15

-11x>4

x<4/-11

(-∞;4/-11)

թ) x — 2 < x

(-∞;+∞)

ժ) 6 — 3x > 1 — 3x

(-∞;+∞)

ի) x + 5 > x

(-∞;+∞)

լ) 12 + 4x < 3 — x + 5x

լուծում չկա

խ) x + 2 < x

2x<2

x>-2

(-2;+∞)

ծ) x — 5 > x

2x>5

x>5/2

(-5/2;+∞)

կ) 4 — 8x < — 8x + 4

լուծում չունի
հ) x — 3 + 2x < 4 + 3x — 1

1)Լուծեք անհավասարումը․

ա) 2x > 4

∈ (−∞;∞)

x>2

x∈(2;+∞)

բ) 7x < — 14

x<-2

x∈(-2;-∞)

գ) — 5x < 100

x<-20

x∈(-5;-∞)

դ) — 3x < 9

x>-3

x∈(-3;+∞)

ե) — 2x > — 2

x<1

x∈(1;-∞)

զ) — 3x > — 6

x<2

x∈(2;-∞)

է) 3x < 2

ը) — 2x < 11

թ) — 5x > 1

x<-1/5

x∈(-1/5;-∞)

ժ) — 17x > — 2

x∈(2/17;-∞)

ի) — 4x > — 2

լ) 13x < 3

2)Լուծեք անհավասարումը․

ա) x — 1 > 0
x > 1

բ) 3 + x > 0
x > -3

գ) x + 5 < 0
x < -5

դ) x + 0,5 < 0
x < -0,5

ե) x — 1 1/3 < 0
x < 1 1/3

զ) x — 6 < 6
x < 12

է) x + 7 > 7
x > 0

ը) 3 + x < — 6
x < -9

թ) x — 2 > 0,6
x > 2,6

ժ) x — 3,5 < 4
x < 7,5

ի) 7 + x > 0
x > -7

լ) 4 + x > 2
x > -2

խ) x — 11 < — 7
x < 4

ծ) x + 4 > 7
x > 3

կ) x — 2 > 0,2
x > 2,2

հ) x + 10,7 > 7,9
x > -2,8

ձ) 2,1 + x < 7
x < 4,9

ղ) 5013 + x < 0,13
x < -5011,87

1)Փակագծերում նշված թիվը հանդիսանո՞ւմ է արդյոք անհավասարման լուծում՝

4x-4>3x+3 (-1)ոչ

72x-18<-13x (-10) այո

2)Համարժե՞ք են արդյոք անհավասարումները՝

2x-1>6 և 6>2x-1 ոչ

x<3 և x+2<5 այո

3x-7>5 և -3x+7<-5 այո

3)Լուծեք անհավասարումը`

2x+1<x

(-∞;-1)

7x-13>9x

-2x>13

x<-6/5

(-∞;-6/5)

2x-x-1<2

x<3

(-∞;3)

8-9x>x-3-3x+4x+15

8+3-15>9x-3x+4x+x

-4>11x

x<-4/11

(-∞;-4/11)

4)Փակագծերում նշված թիվը հանդիսանո՞ւմ է արդյոք անհավասարման լուծում՝

2+12x<-x+3 (-2) այո

5x-7>9+x (100) այո

5)Համարժե՞ք են արդյոք անհավասարումները՝

2x>4 և x<2 ոչ

2x>5 և x-7>-2-x այո

2<7-x և 3x<5+2x այո

6)Լուծեք անհավասարումը`

x+4>5x

4>4x

x<1

x-2<3x

-2<2x

x>-1

3<7x-5-4x

8<3x

x>8/3

5x-2x-8x+x-12x>7-2x

-14x>7

x<-7/14=x<-1/2

ա) 2x > 4
x∈(2;+∞)

բ) 7x < — 14 

x<-2
x∈(-∞:-2)

գ) — 5x < 100 

x>-20
x∈(-20;+∞)

դ) — 3x < 9 

x>-3
x∈(-3;+∞)

ե) — 2x > — 2

x<1
x∈(-∞:1)

զ) — 3x > — 6

x<2
x∈(-∞:2)

է) 3x < 2

x<2/3
x∈(-∞:2/3)

ը) — 2x < 11 

x>5,5
x∈(-∞:5,5)

թ) — 5x > 1

x<0,2
x∈(0,2:+∞)

ժ) — 17x > — 2

x<0,11
x∈(-∞:0,11)

ի) — 4x > — 2

x<0,5
x∈(-∞;0,5)

լ) 13x < 3

x<0,23
x∈(-∞;0,23)

2)Լուծեք անհավասարումը․

ա) x — 1 > 0

x>1
x∈(1;+∞)

բ) 3 + x > 0 

x>-3
x∈(-3;+∞)

գ) x + 5 < 0 

x>-5
x∈(-5;+∞)

դ) x + 0, 5 < 0

x<-0,5
x∈(-∞;-0,5)

ե) x — 1 1/3 < 0

x<1 1/3
x∈(-∞; 1 1/3)

զ) x — 6 < 6 

x<12
x∈(-∞; 12)

է) x + 7 > 7

x>0
x∈(0;+∞)

ը) 3 + x < — 6 

x<-9
x∈(-9;+∞)

թ) x — 2 > 0, 6

x<2,6
x∈(-∞;2,6)

ժ) x — 3, 5 < 4 

x<7,5
x∈(-∞;7,5)

ի) 7 + x > 0

x>-7
x∈(7;+∞)

լ) 4 + x > 2

x>-2
x∈(-2;+∞)

խ) x — 11 < — 7 

x<4
x∈(-∞:4)

ծ) x + 4 > 7

x<3
x∈(-∞:3)

կ) x — 2 > 0, 2

x>2,2
x∈(2,2;+∞)

հ) x + 10, 7 > 7, 9

x>-2,8
x∈(-2,8;+∞)

ձ) 2, 1 + x < 7

x< 4,9
x∈(-∞:4,9)

ղ) 5013 + x < 0 ,13

x< -5012,87
x∈(-∞:-5012,87)

kx−b>0 կամ kx−b<0 տեսքի անհավասարումները, որտեղ k -ն և b -ն տրված թվեր են, ընդ որում k≠0, անվանում են առաջին աստիճանի մեկ x անհայտով անհավասարումներ:

Օրինակ․

a−5>0 a>5 Պատասխան՝a∈(5;+∞)

−2y−100<0 −2y<100|:(−2) (անհավասարության նշանը փոխվում է) y>100:(−2) y>−50 Պատասխան՝y∈(−50;+∞)

−3c≥−15|:(−3)(անհավասարության նշանը փոխվում է) c≤−15:(−3) c≤5 Պատասխան՝ c∈(−∞;5]

kx−b≥0 կամ  kx−b≤0 տեսքի անհավասարումները, որտեղ k -ն և b -ն տրված թվեր են, ընդ որում  k≠0, անվանում են մեկ  x անհայտով առաջին աստիճանի ոչ խիստ անհավասարումներ:

Օրինակ․

x−3≥0

x≥3

Պատասխան՝x∈[3;+∞)

Առաջադրանքներ․

1)Կոորդինատային առանցքի վրա պատկերեք միջակայքը՝

ա) (-2; 7) – այս միջակայքը բաց է երկու վերջնագծերից:

բ) (-17; 34) – այս միջակայքը բաց է երկու վերջնագծերից:

գ) (1234; 1398) – այս միջակայքը բաց է երկու վերջնագծերից:

դ) (-∞; 0) – սա բաց միջավայր է 0-ի նկատմամբ:

ե) (0; +∞) – սա բաց միջավայր է 0-ի նկատմամբ:

զ) (-∞; -3) – սա բաց միջավայր է -3-ի նկատմամբ:

է) (2; +∞) – սա բաց միջավայր է 2-ի նկատմամբ:

ը) (-∞; +∞) – այս միջակայքը անվերջ է:

թ) (-1/3; 0,5) – այս միջակայքը բաց է երկու վերջնագծերից:

2)Ինչպիսի՞ նշան (<; =; >) պետք է դնել a և b թվերի միջև, եթե a-b տարբերությունը՝

ա) դրական թիվ է – նշանակում է, որ a > b:

բ) բացասական թիվ է – նշանակում է, որ a < b:

3)Նկարում պատկերված միջակայքերը գրեք անհավասարությունների նշանների օգնությամբ։

4)Կոորդինատային առանցքի վրա պատկերեք բոլոր այն թվերը, որոնք բավարարում են նշված անհավասարումներին՝

ա) x > 0 – այս անհավասարությունը բաց միջավայր է՝ 0-ից մեծ թվերը:

բ) x < 3 – այս անհավասարությունը բաց միջավայր է՝ 3-ից փոքր թվերը:

գ) x > 3579 – սա բաց միջավայր է՝ 3579-ից մեծ թվերը:

դ) x < -2 – սա բաց միջավայր է՝ -2-ից փոքր թվերը:

ե) x > -1748 – սա բաց միջավայր է՝ -1748-ից մեծ թվերը:

զ) x < 0,00006 – սա բաց միջավայր է՝ 0,00006-ից փոքր թվերը:

5)x — a տարբերությունը համեմատեք զրոյի հետ, եթե

ա) x > a – սա նշանակում է, որ x — a > 0:

բ) x < a – սա նշանակում է, որ x — a < 0:

6)3 թիվը հանդիսանո՞ւմ է նշված անհավասարման լուծում՝

ա) x > 0 – այո, 3 > 0:

բ) x > -2 – այո, 3 > -2:

գ) x < 3,1 – այո, 3 < 3,1:

դ) -3 < x < 3 – ոչ, 3 չի համապատասխանում այս միջակայքին:

ե) 2,8 < x < 3,1 – ոչ, 3 չի համապատասխանում այս միջակայքին:

Գիտենք, որ իրական թվերի երկրաչափական մոդելը թվային ուղիղն է: Ցանկացած իրական թիվ թվային ուղղի վրա ունի իր դիրքը: Հիմա կպարզենք, թե ինչպես են թվային ուղղի վրա պատկերվում թվային միջակայքերը: Կօգտագործենք հետևյալ նշանակումները. 

Անհավասարությունների և ծայրակետերի նշանակումներ	Բազմությունների նշանակումներ
≤ կամ ≥ ∙ (ծայրակետն ընդգրկված է)	[ և]քառակուսի փակագծեր
< կամ > о (ծայրակետն ընդգրկված չէ)	( և )կլոր փակագծեր

Գոյություն ունեն թվային ուղղի վրա բազմությունների 4 տեսակի նշանակումներ:

Ամբողջ թվային ուղիղը նշանակվում է այսպես՝ (−∞;∞)։

Եթե x թիվը միաժամանակ բավարարում է x>−4 և x<5 անհավասարություններին, ապա այն բավարարում է −4<x<5 երկկողմանի անհավասարությանը:

−4<x<5 երկկողմանի անհավասարությանը բավարարող բոլոր թվերի բազմությունը անվանում են թվային միջակայք և նշանակում են այսպես՝ (−4;5):

Միջակայքը պատկերենք թվային ուղղի վրա: Կարդում ենք՝ «−4, 5 ինտերվալ», կամ «բաց միջակայք» : Նկատենք, որ հատվածի ծայրակետերը ընդգրկված չեն (սևացված չեն):

Դիտարկենք ուրիշ միջակայքեր:

−4≤x≤5 կամ x∈[−4;5]: Կարդում ենք՝ «−4, 5 հատված», կամ «փակ միջակայք»: Նկատենք, որ հատվածի ծայրակետերը ընդգրկված են (սևացված են):

−4≤x<5 կամ x∈[−4;5): Կարդում ենք՝ «−4, 5 կիսաինտերվալ», կամ «կիսաբաց միջակայք»: Նկատենք, որ կիսաինտերվալի ծայրակետերից մեկը՝ −4 -ը ընդգրկված է (սևացված է), իսկ մյուսը՝ 5 -ը ընդգրկված չէ (սևացված չէ):

−4<x≤5 կամ x∈(−4;5]: Սա ևս կիսաինտերվալ է՝ բաց ձախ ծայրակետով:

Առաջադրանքներ․

1)Անվանեք թվային բազմությանը պատկանող բոլոր ամբողջ թվերը՝

ա) [−3;1][-3; 1][−3;1]

Այս միջակայքը ներառում է ամբողջ թվերը −3,−2,−1,0,1-3, -2, -1, 0, 1−3,−2,−1,0,1:

բ) (−3;1)(-3; 1)(−3;1)

Այս միջակայքը ներառում է ամբողջ թվերը −2,−1,0-2, -1, 0−2,−1,0:

գ) [−3;1)[-3; 1)[−3;1)

Այս միջակայքը ներառում է ամբողջ թվերը −3,−2,−1,0-3, -2, -1, 0−3,−2,−1,0:

դ) (−3;1](-3; 1](−3;1]

Այս միջակայքը ներառում է ամբողջ թվերը −2,−1,0,1-2, -1, 0, 1−2,−1,0,1:

ե) [−2;3][-2; 3][−2;3]

Այս միջակայքը ներառում է ամբողջ թվերը −2,−1,0,1,2,3-2, -1, 0, 1, 2, 3−2,−1,0,1,2,3:

զ) (−2;3)(-2; 3)(−2;3)

Այս միջակայքը ներառում է ամբողջ թվերը −1,0,1,2-1, 0, 1, 2−1,0,1,2:

է) [−2;3)[-2; 3)[−2;3)

Այս միջակայքը ներառում է ամբողջ թվերը −2,−1,0,1,2-2, -1, 0, 1, 2−2,−1,0,1,2:

ը) (−2;3](-2; 3](−2;3]

Այս միջակայքը ներառում է ամբողջ թվերը −1,0,1,2,3-1, 0, 1, 2, 3−1,0,1,2,3.

2)Պատկերեք նշված բազմությունները թվային ուղղի վրա՝

ա) [3;5][3; 5][3;5]

Այս միջակայքը ընդգրկում է 3-ը և 5-ը, ու նաև այս երկու թվերի միջև եղած բոլոր թվերը:

բ) (3;5)(3; 5)(3;5)

Այս միջակայքը չի ընդգրկում 3-ը և 5-ը, միայն նրանց միջև եղած թվերը:

գ) [3;5)[3; 5)[3;5)

Այս միջակայքը ընդգրկում է 3-ը, բայց չի ընդգրկում 5-ը:

դ) (3;5](3; 5](3;5]

Այս միջակայքը չի ընդգրկում 3-ը, բայց ընդգրկում է 5-ը:

ե) [−2;+∞)[-2; +∞)[−2;+∞)

Այս միջակայքը սկսվում է -2-ից և շարունակվում դեպի դրական ինտեգրալ թվերը:

զ) (−2;+∞)(-2; +∞)(−2;+∞)

Այս միջակայքը սկսվում է -2-ից, բայց չի ներառում -2-ը:

է) (−∞;−2)(-∞; -2)(−∞;−2)

Այս միջակայքը ներառում է բոլոր թվերը, որոնք փոքր են, քան -2, բայց -2-ը չի ներառում:

ը) (−∞;−2](-∞; -2](−∞;−2]

Այս միջակայքը ներառում է բոլոր թվերը, որոնք փոքր են կամ հավասար են -2:

3)Պատկանու՞մ է արդյոք -2 թիվը թվային բազմությանը (գրառումը կատարեք ∈ և ∉ նշանների օգնությամբ):ա) [−3;0][-3; 0][−3;0]

−2∈[−3;0]-2 \in [-3; 0]−2∈[−3;0] (պատկանում է)

բ) (−2;3)(-2; 3)(−2;3)

−2∉(−2;3)-2 \notin (-2; 3)−2∈/(−2;3) (չպատկանում է)

գ) (−∞;−2](-∞; -2](−∞;−2]

−2∈(−∞;−2]-2 \in (-∞; -2]−2∈(−∞;−2] (պատկանում է)

դ) [−3;+∞)[-3; +∞)[−3;+∞)

−2∈[−3;+∞)-2 \in [-3; +∞)−2∈[−3;+∞) (պատկանում է)

ե) N\mathbb{N}N

−2∉N-2 \notin \mathbb{N}−2∈/N (չպատկանում է)

զ) Z\mathbb{Z}Z

−2∈Z-2 \in \mathbb{Z}−2∈Z (պատկանում է)

է) Q\mathbb{Q}Q

−2∈Q-2 \in \mathbb{Q}−2∈Q (պատկանում է)

ը) R\mathbb{R}R

−2∈R-2 \in \mathbb{R}−2∈R (պատկանում է)

4)Անվանեք թվային բազմությանը պատկանող երեք ամբողջ թվեր՝

ա) [0;+∞)[0; +∞)[0;+∞)

Օրինակ՝ 0, 1, 2

բ) (0;+∞)(0; +∞)(0;+∞)

Օրինակ՝ 1, 2, 3

գ) (−∞;1)(-∞; 1)(−∞;1)

Օրինակ՝ -3, -2, 0

դ) (−∞;1](-∞; 1](−∞;1]

Օրինակ՝ -3, -2, 0

5)Գրառեք նշանակումը և պատկերեք նշված բազմությունները թվային ուղղի վրա՝

ա) 2-ից 4 փակ միջակայքի (հատվածի)

Նշում՝ [2;4][2; 4][2;4]

Այս միջակայքը ներառում է 2 և 4:

բ) 2-ից 4 բաց միջակայքի

Նշում՝ (2;4)(2; 4)(2;4)

Այս միջակայքը չի ներառում 2 և 4:

գ) 2-ից 4 կիսաբաց միջակայքի՝ 4-ը ներառած

Նշում՝ [2;4)[2; 4)[2;4)

Այս միջակայքը ներառում է 2-ը, բայց չի ներառում 4-ը:

դ) 2-ից 4 կիսաբաց միջակայքի՝ 2-ը ներառած

Նշում՝ (2;4](2; 4](2;4]

Այս միջակայքը չի ներառում 2-ը, բայց ներառում է 4-ը:

ե) 5-ից +∞ միջակայքի

Նշում՝ [5;+∞)[5; +∞)[5;+∞)

Այս միջակայքը ներառում է 5-ը և շարունակվում դեպի անսահման:

զ) 5-ից +∞ կիսաբաց միջակայքի

Նշում՝ (5;+∞)(5; +∞)(5;+∞)

Այս միջակայքը չի ներառում 5-ը:

է) -∞-ից 0 միջակայքի

Նշում՝ (−∞;0](-∞; 0](−∞;0]

Այս միջակայքը ներառում է բոլոր թվերը, որոնք փոքր են կամ հավասար են 0:

ը) -∞-ից 0 կիսաբաց միջակայքի

Նշում՝ (−∞;0)(-∞; 0)(−∞;0)

Այս միջակայքը չի ներառում 0-ը:

6)Պատկանու՞մ է արդյոք 2/3 թիվը թվային բազմությանը (գրառումը կատարեք ∈ և ∉ նշանների օգնությամբ):

ա) (0;1](0; 1](0;1]

23∈(0;1] \frac{2}{3} \in (0; 1]32​∈(0;1] (պատկանում է)

բ) [1;2][1; 2][1;2]

23∉[1;2] \frac{2}{3} \notin [1; 2]32​∈/[1;2] (չպատկանում է)

գ) (−∞;23](-∞; \frac{2}{3}](−∞;32​]

23∈(−∞;23] \frac{2}{3} \in (-∞; \frac{2}{3}]32​∈(−∞;32​] (պատկանում է)

դ) (23;+∞)(\frac{2}{3}; +∞)(32​;+∞)

23∉(23;+∞) \frac{2}{3} \notin (\frac{2}{3}; +∞)32​∈/(32​;+∞) (չպատկանում է)

ե) N\mathbb{N}N

23∉N \frac{2}{3} \notin \mathbb{N}32​∈/N (չպատկանում է)

զ) Z\mathbb{Z}Z

23∉Z \frac{2}{3} \notin \mathbb{Z}32​∈/Z (չպատկանում է)

է) Q\mathbb{Q}Q

23∈Q \frac{2}{3} \in \mathbb{Q}32​∈Q (պատկանում է)

ը) R\mathbb{R}R

23∈R \frac{2}{3} \in \mathbb{R}32​∈R (պատկանում է)

1. Նշեք նշված թվերից մեկից մեծ և մյուսից փոքր թիվ:

ա) 3 < 5 <br> բ) -29 < -25 <br> գ) 2.404 < 2.4 <br> դ) 2.5 < 2.6 <br> ե) -3.72 < -3.71 <br> զ) -0.501 < 0.6 <br>

2. Տրված ճշմարիտ անհավասարությունից ստացեք նոր ճշմարիտ անհավասարություն՝ գումարելով նրա երկու մասերին միևնույն թիվը:

ա) 15 < 20 -> 15 + 3 < 20 + 3 -> 18 < 23 <br> բ) 1.1 < 1.2 -> 1.1 + 0.5 < 1.2 + 0.5 -> 1.6 < 1.7 <br> գ) 5 > 4 -> 5 + 2 > 4 + 2 -> 7 > 6 <br> դ) 1.3 ≥ 1.2 -> 1.3 + 0.4 ≥ 1.2 + 0.4 -> 1.7 ≥ 1.6 <br> ե) 2.5 < 3 -> 2.5 + 1 < 3 + 1 -> 3.5 < 4 <br> զ) 5 ≤ 6 -> 5 + 2 ≤ 6 + 2 -> 7 ≤ 8 <br>

3. Երկու ճշմարիտ անհավասարությունների հիման վրա կատարեք եզրակացություն:

ա) -5 < 0 և 0 < 2 -> -5 < 2 <br> բ) 2 > 1 և 1 > 0 -> 2 > 1 > 0 <br> գ) -3.7 > -4 և -4 > -7 -> -3.7 > -7 <br> դ) -2 < 0 և 0 < 2 -> -2 < 2 <br> ե) 2.1 > 2 և 2 > 1.6 -> 2.1 > 2 > 1.6 <br> զ) 0.5 < 0.6 և 0.6 < 0.67 -> 0.5 < 0.67 <br>

4. Բազմապատկեք ճշմարիտ թվային անհավասարությունները:

ա) 14 > 10 և 2 > 1 -> 14 * 2 > 10 * 1 -> 28 > 10 <br> բ) 5 > 3 և 6 > 5 -> 5 * 6 > 3 * 5 -> 30 > 15 <br> գ) 6 < 7 և 2 < 3 -> 6 * 2 < 7 * 3 -> 12 < 21 <br> դ) 8 < 9 և 1 < 2 -> 8 * 1 < 9 * 2 -> 8 < 18 <br>

5. Գումարեք ճշմարիտ թվային անհավասարությունները:

ա) 14 > 11 և 10 > 9 -> 14 + 10 > 11 + 9 -> 24 > 20 <br> բ) -2 > -3 և 3 > 2 -> -2 + 3 > -3 + 2 -> 1 > -1 <br> գ) -6 < -5 և 2 < 3 -> -6 + 2 < -5 + 3 -> -4 < -2 <br> դ) -8 < 0 և 8 < 9 -> -8 + 8 < 0 + 9 -> 0 < 9 <br>

6. Տրված ճշմարիտ անհավասարությունից ստացեք ճշմարիտ անհավասարություն, որում յուրաքանչյուր թիվ փոխարինված է իր հակադիրով:

ա) 3 > 0 -> -3 < 0 <br> բ) 5 > -1 -> -5 < 1 <br> գ) -9 < -1 -> 9 > 1 <br> դ) -5 < -1 -> 5 > 1 <br> ե) 9 > -2 -> -9 < 2 <br> զ) 0 < 3 -> 0 > -3 <br>

1)Գումարեք կոտորակները․

ա)

8y/8xy =1/x

բ)

3-2x + y/x

գ)

(2x+y/ax)

դ)

a-b-c/ac

2)Կատարե՛ք հանում․

ա)

3x-3y-8/8xy

բ)

-42+2y+1/11a

գ)

-27a+31c-5c/2a

դ)

18-10x-xy/7 – 7y-70-3x/x

3)Կատարե՛ք գործողությունը․

ա)

15x/10y=3x/2y

բ)

4/3

գ)

3/25y²

դ)

6a⁴/5b⁴

ե)

a-b/ab

զ)

a(a+1)/5b

4)Լուծե՛ք խնդիրը․

ա)Ճանապարհի 1/8 մասը անցնելուց հետո ուղևորին մնացել էր անցնելու 455կմ։ Որքա՞ն էր ամբողջ ճանապարհի երկարությունը։

Ամբողջ ճանապարհն ուներ 520 կմ երկարություն։

բ)Ձեռնարկատերը հաշվեց, որ եթե կրկնապատկի աշխատատեղերի թիվը և այնուհետև ավելացնի ևս 16-ը, ապա աշխատողների թիվը կդառնա 200։ Քանի՞ աշխատատեղ կար ձեռնարկությունում։

Ձեռնարկությունում կար 92 աշխատատեղ։

a,b,c իրական թվերի համար տեղի ունեն գումարման և բազմապատկման ընդունված կանոնները՝

ա) a = 1,24851

Կլորացում 0,01 ճշտությամբ.
a ≈ 1,25

բ) a = 1,24158

Կլորացում 0,01 ճշտությամբ.
a ≈ 1,24

գ) a = 0,12528

Կլորացում 0,01 ճշտությամբ.
a ≈ 0,13

դ) a = -7,02303

Կլորացում 0,01 ճշտությամբ.
a ≈ -7,02

Տեղի ունեն նաև թվերի նշանների վերաբերյալ հետևյալ կանոնները՝ 

— երկու դրական թվերի արտադրյալը (քանորդը) դրական թիվ է,
— երկու բացասական թվերի արտադրյալը (քանորդը) դրական թիվ է,
— դրական և բացասական թվերի արտադրյալը (քանորդը) բացասական թիվ է: 

Տեղի ունեն նաև թվերի նշանների վերաբերյալ հետևյալ կանոնները՝ 

— երկու դրական թվերի արտադրյալը (քանորդը) դրական թիվ է,
— երկու բացասական թվերի արտադրյալը (քանորդը) դրական թիվ է,
— դրական և բացասական թվերի արտադրյալը (քանորդը) բացասական թիվ է: 

Թվաբանական գործողությունները իրական թվերի հետ ունեն հետևյալ հատկությունները:

1. Ռացիոնալ թվերի հետ ցանկացած թվաբանական գործողության (բացի 0-ի վրա բաժանելուց) արդյունքում ստացվում է ռացիոնալ թիվ:

Գումարում:
Եթե երկու ռացիոնալ թվեր գումարվում են, ապա ստացվում է նաև ռացիոնալ թիվ:

• Օրինակ. 12+34=54\frac{1}{2} + \frac{3}{4} = \frac{5}{4}21​+43​=45​, որը նույնպես ռացիոնալ թիվ է։

Հանում:
Եթե երկու ռացիոնալ թվեր հանվում են, ապա ստացվում է ևս ռացիոնալ թիվ:

• Օրինակ. 56−13=12\frac{5}{6} — \frac{1}{3} = \frac{1}{2}65​−31​=21​, որը ռացիոնալ է։

Բազմապատկում:
Եթե երկու ռացիոնալ թիվ բազմապատկվում են, ապա ստացվում է ևս ռացիոնալ թիվ:

• Օրինակ. 23×34=612=12\frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}32​×43​=126​=21​, որը ռացիոնալ է։

Բաժանում:
Եթե երկու ռացիոնալ թիվ բաժանվում են (բացի 0-ի վրա բաժանումից), ապա արդյունքը նույնպես ռացիոնալ կլինի:

• Օրինակ. 35÷27=35×72=2110\frac{3}{5} \div \frac{2}{7} = \frac{3}{5} \times \frac{7}{2} = \frac{21}{10}53​÷72​=53​×27​=1021​, որը ռացիոնալ է։

2. Իռացիոնալ թվերի հետ թվաբանական գործողության արդյունքում կարող է ստացվել ինչպես ռացիոնալ, այնպես էլ իռացիոնալ թիվ:

Իռացիոնալ թիվը այն թիվն է, որը չի կարելի ներկայացնել երկու ամբողջ թվերի հարաբերությամբ (այսինքն՝ այն չի կարող լինել pq\frac{p}{q}qp​ տեսքով, որտեղ ppp և qqq ամբողջ թվեր են, և q≠0q \neq 0q=0)։ Իռացիոնալ թվերը ունեն անվերջ և ոչ կրկնող տասնորդական արտահայտություններ։ Օրինակ՝ π\piπ, 2\sqrt{2}2​։

3. Ռացիոնալ և իռացիոնալ թվերի հետ թվաբանական գործողության (բացի 0-ի վրա բաժանելուց և բազմապատկելուց) արդյունքում ստացվում է իռացիոնալ թիվ:

Գումարում և հանում
Եթե ռացիոնալ և իռացիոնալ թվեր գումարվում կամ հանվում են, ապա արդյունքը միշտ կլինի իռացիոնալ:

• Օրինակ՝
  2+3\sqrt{2} + 32​+3 (որտեղ 2\sqrt{2}2​՝ իռացիոնալ թիվ, 333՝ ռացիոնալ)
  2+3=5.14159…\sqrt{2} + 3 = 5.14159…2​+3=5.14159…
  Այս արտահայտությունը մնաց ունի իրական (հիշյալ իռացիոնալ) թիվ:
• 2−3\sqrt{2} — 32​−3 նույնպես կլինի իհարկե իռացիոնալ։

Բերված կանոններն ու հատկությունները տեսական բնույթ ունեն: Հիշում ենք, որ իրական թվերը անվերջ տասնորդական կոտորակներ են: Այդ պատճառով, գործնականում, հարմար է թվաբանական գործողությունները կատարել մոտավոր հաշված (կլորացրած) կոտորակների հետ:

Այսինքն, թվերը կլորացնում են մինչև երկու տասնորդական տեղ։
Օրինակ՝
a=3.889217010203…a = 3.889217010203…a=3.889217010203… կլորացնում ենք մեկ հարյուրերորդականի ճշտությամբ՝
a≈3.89a \approx 3.89a≈3.89։

Երկու իրական թվերի գումարը (տարբերությունը) մոտավոր հաշվելու համար նախ այդ թվերը կլորացնում են նույն ճշտությամբ, ապա գումարում են (հանում են) ստացված մոտավորությունները: 

Նախքան թվերի գումարում կամ հանումը, անհրաժեշտ է կլորացնել այդ թվերը նույն ճշտությամբ՝ կախված նրանից, թե ինչ ճշտությամբ եք ցանկանում հաշվարկել: Օրինակ, եթե աշխատում եք մեկ հարյուրերորդականի ճշտությամբ, ապա թվերը կլորացվում են մինչև երկու տասնորդական տեղ։

Օրինակ

Մոտավոր հաշվենք a=3.889217010203… և b=−1.260076(27)… թվերի գումարը մեկ հարյուրերորդականի ճշտությամբ: 

a=3.889217010203…
Կլորացնում ենք մեկ հարյուրերորդականի ճշտությամբ՝ a≈3.89a \approx 3.89a≈3.89

b=−1.260076(27)…b = -1.260076(27)…b=−1.260076(27)…
Կլորացնում ենք մեկ հարյուրերորդականի ճշտությամբ՝ b≈−1.26b \approx -1.26b≈−1.26

1. aaa թիվը կլորացնել 0,01 ճշտությամբ

ա) a=1.24851a = 1.24851a=1.24851

Կլորացում 0,01 ճշտությամբ՝
a≈1.25a \approx 1.25a≈1.25

բ) a=1.24158a = 1.24158a=1.24158

Կլորացում 0,01 ճշտությամբ՝
a≈1.24a \approx 1.24a≈1.24

գ) a=0.12528a = 0.12528a=0.12528

Կլորացում 0,01 ճշտությամբ՝
a≈0.13a \approx 0.13a≈0.13

դ) a=−7.02303a = -7.02303a=−7.02303

Կլորացում 0,01 ճշտությամբ՝
a≈−7.02a \approx -7.02a≈−7.02

---

2. aaa թիվը կլորացնել 0,001 ճշտությամբ

ա) a=8.91011…a = 8.91011…a=8.91011…

Կլորացում 0,001 ճշտությամբ՝
a≈8.910a \approx 8.910a≈8.910

բ) a=0.2626a = 0.2626a=0.2626

Կլորացում 0,001 ճշտությամբ՝
a≈0.263a \approx 0.263a≈0.263

գ) a=−8.91011…a = -8.91011…a=−8.91011…

Կլորացում 0,001 ճշտությամբ՝
a≈−8.910a \approx -8.910a≈−8.910

դ) a=0.6265a = 0.6265a=0.6265

Կլորացում 0,001 ճշտությամբ՝
a≈0.627a \approx 0.627a≈0.627

---

3. Մինչև 0,01 ճշտությամբ կլորացրեք aaa ու bbb թվերը և հաշվե՛ք նրանց մոտավոր գումարն ու տարբերությունը

ա) a=1.4545a = 1.4545a=1.4545, b=−1.203b = -1.203b=−1.203

Կլորացում
a≈1.45a \approx 1.45a≈1.45, b≈−1.20b \approx -1.20b≈−1.20

Գումարումը
a+b≈1.45+(−1.20)=0.25a + b \approx 1.45 + (-1.20) = 0.25a+b≈1.45+(−1.20)=0.25

Տարբերությունը
a−b≈1.45−(−1.20)=1.45+1.20=2.65a — b \approx 1.45 — (-1.20) = 1.45 + 1.20 = 2.65a−b≈1.45−(−1.20)=1.45+1.20=2.65

բ) a=−5.777a = -5.777a=−5.777, b=2.536b = 2.536b=2.536

Կլորացում
a≈−5.78a \approx -5.78a≈−5.78, b≈2.54b \approx 2.54b≈2.54

Գումարումը
a+b≈−5.78+2.54=−3.24a + b \approx -5.78 + 2.54 = -3.24a+b≈−5.78+2.54=−3.24

Տարբերությունը
a−b≈−5.78−2.54=−8.32a — b \approx -5.78 — 2.54 = -8.32a−b≈−5.78−2.54=−8.32

գ) a=−12.454a = -12.454a=−12.454, b=−10.111b = -10.111b=−10.111

Կլորացում
a≈−12.45a \approx -12.45a≈−12.45, b≈−10.11b \approx -10.11b≈−10.11

Գումարումը
a+b≈−12.45+(−10.11)=−22.56a + b \approx -12.45 + (-10.11) = -22.56a+b≈−12.45+(−10.11)=−22.56

Տարբերությունը
a−b≈−12.45−(−10.11)=−12.45+10.11=−2.34a — b \approx -12.45 — (-10.11) = -12.45 + 10.11 = -2.34a−b≈−12.45−(−10.11)=−12.45+10.11=−2.34

դ) a=2.1264a = 2.1264a=2.1264, b=−3.1145b = -3.1145b=−3.1145

Կլորացում
a≈2.13a \approx 2.13a≈2.13, b≈−3.11b \approx -3.11b≈−3.11

Գումարումը
a+b≈2.13+(−3.11)=−0.98a + b \approx 2.13 + (-3.11) = -0.98a+b≈2.13+(−3.11)=−0.98

Տարբերությունը
a−b≈2.13−(−3.11)=2.13+3.11=5.24a — b \approx 2.13 — (-3.11) = 2.13 + 3.11 = 5.24a−b≈2.13−(−3.11)=2.13+3.11=5.24

---

4. Թիվը կլորացրեք 0,01 ճշտությամբ

ա) 127.(023)127.(023)127.(023)

Այս թիվը անընդհատ կրկնվող է՝ 127.023023…127.023023…127.023023….
Կլորացնում ենք 0,01 ճշտությամբ՝
a≈127.02a \approx 127.02a≈127.02

բ) −1.34(8)-1.34(8)−1.34(8)

Այս թիվը նույնպես անընդհատ կրկնվող է՝ −1.348484…-1.348484…−1.348484….
Կլորացնում ենք 0,01 ճշտությամբ՝
a≈−1.35a \approx -1.35a≈−1.35

գ) 0.1(27)0.1(27)0.1(27)

Այս թիվը կրկնվող է՝ 0.127272…0.127272…0.127272….
Կլորացնում ենք 0,01 ճշտությամբ՝
a≈0.13a \approx 0.13a≈0.13

դ) −0.56789101112…-0.56789101112…−0.56789101112…

Այս թիվը չունի կրկնվող մաս, բայց համարը երկար է։
Կլորացնում ենք 0,01 ճշտությամբ՝
a≈−0.57a \approx -0.57a≈−0.57

---

5. Տրված թվերը կլորացնելով 0,1 ճշտությամբ՝ գտեք նրանց մոտավոր գումարը

ա) 3.288+0.1233.288 + 0.1233.288+0.123

Կլորացում
3.288≈3.33.288 \approx 3.33.288≈3.3, 0.123≈0.10.123 \approx 0.10.123≈0.1

Գումարումը
3.3+0.1=3.43.3 + 0.1 = 3.43.3+0.1=3.4

բ) 0.100100010…+0.2380.100100010… + 0.2380.100100010…+0.238

Կլորացում
0.100100010…≈0.10.100100010… \approx 0.10.100100010…≈0.1, 0.238≈0.20.238 \approx 0.20.238≈0.2

Գումարումը
0.1+0.2=0.30.1 + 0.2 = 0.30.1+0.2=0.3

գ) −1.236+2.555-1.236 + 2.555−1.236+2.555

Կլորացում
−1.236≈−1.2-1.236 \approx -1.2−1.236≈−1.2, 2.555≈2.62.555 \approx 2.62.555≈2.6

Գումարումը
−1.2+2.6=1.4-1.2 + 2.6 = 1.4−1.2+2.6=1.4

դ) 2.7(3)+3.(42)2.7(3) + 3.(42)2.7(3)+3.(42)

Այս թվերը կրկնվող են՝ 2.733333…2.733333…2.733333… և 3.424242…3.424242…3.424242….
Կլորացում
2.72.72.7, 3.43.43.4

Գումարումը
2.7+3.4=6.12.7 + 3.4 = 6.12.7+3.4=6.1

Ըստ գծագրերի տվյալների գտնել x-ը.

ա)

360 — 232 = 128,
x = 128 : 2 = 64:

բ)

125 + 60 = 185,
x = 360 — 185 = 175:

գ)

180 + 112 = 292,
x = 360 — 292 = 68,
x = 68:2 = 34:

դ)

215 + 40 = 255,
x = 360 — 255 = 105:

2)AB կիսաշրջանագծի վրա վերցված են C և D կետերն այնպես, որ

∪AC = 57°∪BD = 63°Շրջանագծի շառավիղը 12 սմ է:

∪AC=57^o, ∪BD=63^o   

Գտեք CD լարը, եթե շրջանագծի շառավիղը 12 սմ է։

3)AOB կենտրոնային անկյունը 30^o -ով մեծ է AB աղեղին հենված ներգծյալ անկյունից։ Գտեք այդ անկյուններից յուրաքանչյուրը։

Կենտրոնական անկյունները
Շրջանագծի կենտրոնից OOO դեպի AAA, BBB, CCC և DDD կետերը ձգված շառավիղներն են։ Այսինքն, ∠AOB\angle AOB∠AOB և ∠COD\angle COD∠COD կենտրոնական անկյուններն են, որոնք հավասար են \overarcAB\overarc{AB}\overarcAB և \overarcCD\overarc{CD}\overarcCD անկյուններին։