Թվաբանական գործողություններ իրական թվերի հետ

varazdatmaham

a,b,c իրական թվերի համար տեղի ունեն գումարման և բազմապատկման ընդունված կանոնները՝

ա) a = 1,24851

Կլորացում 0,01 ճշտությամբ.
a ≈ 1,25

բ) a = 1,24158

Կլորացում 0,01 ճշտությամբ.
a ≈ 1,24

գ) a = 0,12528

Կլորացում 0,01 ճշտությամբ.
a ≈ 0,13

դ) a = -7,02303

Կլորացում 0,01 ճշտությամբ.
a ≈ -7,02

Տեղի ունեն նաև թվերի նշանների վերաբերյալ հետևյալ կանոնները՝ 

— երկու դրական թվերի արտադրյալը (քանորդը) դրական թիվ է,
— երկու բացասական թվերի արտադրյալը (քանորդը) դրական թիվ է,
— դրական և բացասական թվերի արտադրյալը (քանորդը) բացասական թիվ է: 

Տեղի ունեն նաև թվերի նշանների վերաբերյալ հետևյալ կանոնները՝ 

— երկու դրական թվերի արտադրյալը (քանորդը) դրական թիվ է,
— երկու բացասական թվերի արտադրյալը (քանորդը) դրական թիվ է,
— դրական և բացասական թվերի արտադրյալը (քանորդը) բացասական թիվ է: 

Թվաբանական գործողությունները իրական թվերի հետ ունեն հետևյալ հատկությունները:

1. Ռացիոնալ թվերի հետ ցանկացած թվաբանական գործողության (բացի 0-ի վրա բաժանելուց) արդյունքում ստացվում է ռացիոնալ թիվ:

Գումարում:
Եթե երկու ռացիոնալ թվեր գումարվում են, ապա ստացվում է նաև ռացիոնալ թիվ:

  • Օրինակ. 12+34=54\frac{1}{2} + \frac{3}{4} = \frac{5}{4}21​+43​=45​, որը նույնպես ռացիոնալ թիվ է։

Հանում:
Եթե երկու ռացիոնալ թվեր հանվում են, ապա ստացվում է ևս ռացիոնալ թիվ:

  • Օրինակ. 56−13=12\frac{5}{6} — \frac{1}{3} = \frac{1}{2}65​−31​=21​, որը ռացիոնալ է։

Բազմապատկում:
Եթե երկու ռացիոնալ թիվ բազմապատկվում են, ապա ստացվում է ևս ռացիոնալ թիվ:

  • Օրինակ. 23×34=612=12\frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}32​×43​=126​=21​, որը ռացիոնալ է։

Բաժանում:
Եթե երկու ռացիոնալ թիվ բաժանվում են (բացի 0-ի վրա բաժանումից), ապա արդյունքը նույնպես ռացիոնալ կլինի:

  • Օրինակ. 35÷27=35×72=2110\frac{3}{5} \div \frac{2}{7} = \frac{3}{5} \times \frac{7}{2} = \frac{21}{10}53​÷72​=53​×27​=1021​, որը ռացիոնալ է։

2. Իռացիոնալ թվերի հետ թվաբանական գործողության արդյունքում կարող է ստացվել ինչպես ռացիոնալ, այնպես էլ իռացիոնալ թիվ:

Իռացիոնալ թիվը այն թիվն է, որը չի կարելի ներկայացնել երկու ամբողջ թվերի հարաբերությամբ (այսինքն՝ այն չի կարող լինել pq\frac{p}{q}qp​ տեսքով, որտեղ ppp և qqq ամբողջ թվեր են, և q≠0q \neq 0q=0)։ Իռացիոնալ թվերը ունեն անվերջ և ոչ կրկնող տասնորդական արտահայտություններ։ Օրինակ՝ π\piπ, 2\sqrt{2}2​։

3. Ռացիոնալ և իռացիոնալ թվերի հետ թվաբանական գործողության (բացի 0-ի վրա բաժանելուց և բազմապատկելուց) արդյունքում ստացվում է իռացիոնալ թիվ:

Գումարում և հանում
Եթե ռացիոնալ և իռացիոնալ թվեր գումարվում կամ հանվում են, ապա արդյունքը միշտ կլինի իռացիոնալ:

  • Օրինակ՝
    2+3\sqrt{2} + 32​+3 (որտեղ 2\sqrt{2}2​՝ իռացիոնալ թիվ, 333՝ ռացիոնալ)
    2+3=5.14159…\sqrt{2} + 3 = 5.14159…2​+3=5.14159…
    Այս արտահայտությունը մնաց ունի իրական (հիշյալ իռացիոնալ) թիվ:
  • 2−3\sqrt{2} — 32​−3 նույնպես կլինի իհարկե իռացիոնալ։

Բերված կանոններն ու հատկությունները տեսական բնույթ ունեն: Հիշում ենք, որ իրական թվերը անվերջ տասնորդական կոտորակներ են: Այդ պատճառով, գործնականում, հարմար է թվաբանական գործողությունները կատարել մոտավոր հաշված (կլորացրած) կոտորակների հետ:

Այսինքն, թվերը կլորացնում են մինչև երկու տասնորդական տեղ։
Օրինակ՝
a=3.889217010203…a = 3.889217010203…a=3.889217010203… կլորացնում ենք մեկ հարյուրերորդականի ճշտությամբ՝
a≈3.89a \approx 3.89a≈3.89։

Երկու իրական թվերի գումարը (տարբերությունը) մոտավոր հաշվելու համար նախ այդ թվերը կլորացնում են նույն ճշտությամբ, ապա գումարում են (հանում են) ստացված մոտավորությունները: 

Նախքան թվերի գումարում կամ հանումը, անհրաժեշտ է կլորացնել այդ թվերը նույն ճշտությամբ՝ կախված նրանից, թե ինչ ճշտությամբ եք ցանկանում հաշվարկել: Օրինակ, եթե աշխատում եք մեկ հարյուրերորդականի ճշտությամբ, ապա թվերը կլորացվում են մինչև երկու տասնորդական տեղ։

Օրինակ

Մոտավոր հաշվենք a=3.889217010203… և b=−1.260076(27)… թվերի գումարը մեկ հարյուրերորդականի ճշտությամբ: 

a=3.889217010203…
Կլորացնում ենք մեկ հարյուրերորդականի ճշտությամբ՝ a≈3.89a \approx 3.89a≈3.89

b=−1.260076(27)…b = -1.260076(27)…b=−1.260076(27)…
Կլորացնում ենք մեկ հարյուրերորդականի ճշտությամբ՝ b≈−1.26b \approx -1.26b≈−1.26

1. aaa թիվը կլորացնել 0,01 ճշտությամբ

ա) a=1.24851a = 1.24851a=1.24851

Կլորացում 0,01 ճշտությամբ՝
a≈1.25a \approx 1.25a≈1.25

բ) a=1.24158a = 1.24158a=1.24158

Կլորացում 0,01 ճշտությամբ՝
a≈1.24a \approx 1.24a≈1.24

գ) a=0.12528a = 0.12528a=0.12528

Կլորացում 0,01 ճշտությամբ՝
a≈0.13a \approx 0.13a≈0.13

դ) a=−7.02303a = -7.02303a=−7.02303

Կլորացում 0,01 ճշտությամբ՝
a≈−7.02a \approx -7.02a≈−7.02

2. aaa թիվը կլորացնել 0,001 ճշտությամբ

ա) a=8.91011…a = 8.91011…a=8.91011…

Կլորացում 0,001 ճշտությամբ՝
a≈8.910a \approx 8.910a≈8.910

բ) a=0.2626a = 0.2626a=0.2626

Կլորացում 0,001 ճշտությամբ՝
a≈0.263a \approx 0.263a≈0.263

գ) a=−8.91011…a = -8.91011…a=−8.91011…

Կլորացում 0,001 ճշտությամբ՝
a≈−8.910a \approx -8.910a≈−8.910

դ) a=0.6265a = 0.6265a=0.6265

Կլորացում 0,001 ճշտությամբ՝
a≈0.627a \approx 0.627a≈0.627

3. Մինչև 0,01 ճշտությամբ կլորացրեք aaa ու bbb թվերը և հաշվե՛ք նրանց մոտավոր գումարն ու տարբերությունը

ա) a=1.4545a = 1.4545a=1.4545, b=−1.203b = -1.203b=−1.203

Կլորացում
a≈1.45a \approx 1.45a≈1.45, b≈−1.20b \approx -1.20b≈−1.20

Գումարումը
a+b≈1.45+(−1.20)=0.25a + b \approx 1.45 + (-1.20) = 0.25a+b≈1.45+(−1.20)=0.25

Տարբերությունը
a−b≈1.45−(−1.20)=1.45+1.20=2.65a — b \approx 1.45 — (-1.20) = 1.45 + 1.20 = 2.65a−b≈1.45−(−1.20)=1.45+1.20=2.65

բ) a=−5.777a = -5.777a=−5.777, b=2.536b = 2.536b=2.536

Կլորացում
a≈−5.78a \approx -5.78a≈−5.78, b≈2.54b \approx 2.54b≈2.54

Գումարումը
a+b≈−5.78+2.54=−3.24a + b \approx -5.78 + 2.54 = -3.24a+b≈−5.78+2.54=−3.24

Տարբերությունը
a−b≈−5.78−2.54=−8.32a — b \approx -5.78 — 2.54 = -8.32a−b≈−5.78−2.54=−8.32

գ) a=−12.454a = -12.454a=−12.454, b=−10.111b = -10.111b=−10.111

Կլորացում
a≈−12.45a \approx -12.45a≈−12.45, b≈−10.11b \approx -10.11b≈−10.11

Գումարումը
a+b≈−12.45+(−10.11)=−22.56a + b \approx -12.45 + (-10.11) = -22.56a+b≈−12.45+(−10.11)=−22.56

Տարբերությունը
a−b≈−12.45−(−10.11)=−12.45+10.11=−2.34a — b \approx -12.45 — (-10.11) = -12.45 + 10.11 = -2.34a−b≈−12.45−(−10.11)=−12.45+10.11=−2.34

դ) a=2.1264a = 2.1264a=2.1264, b=−3.1145b = -3.1145b=−3.1145

Կլորացում
a≈2.13a \approx 2.13a≈2.13, b≈−3.11b \approx -3.11b≈−3.11

Գումարումը
a+b≈2.13+(−3.11)=−0.98a + b \approx 2.13 + (-3.11) = -0.98a+b≈2.13+(−3.11)=−0.98

Տարբերությունը
a−b≈2.13−(−3.11)=2.13+3.11=5.24a — b \approx 2.13 — (-3.11) = 2.13 + 3.11 = 5.24a−b≈2.13−(−3.11)=2.13+3.11=5.24

4. Թիվը կլորացրեք 0,01 ճշտությամբ

ա) 127.(023)127.(023)127.(023)

Այս թիվը անընդհատ կրկնվող է՝ 127.023023…127.023023…127.023023….
Կլորացնում ենք 0,01 ճշտությամբ՝
a≈127.02a \approx 127.02a≈127.02

բ) −1.34(8)-1.34(8)−1.34(8)

Այս թիվը նույնպես անընդհատ կրկնվող է՝ −1.348484…-1.348484…−1.348484….
Կլորացնում ենք 0,01 ճշտությամբ՝
a≈−1.35a \approx -1.35a≈−1.35

գ) 0.1(27)0.1(27)0.1(27)

Այս թիվը կրկնվող է՝ 0.127272…0.127272…0.127272….
Կլորացնում ենք 0,01 ճշտությամբ՝
a≈0.13a \approx 0.13a≈0.13

դ) −0.56789101112…-0.56789101112…−0.56789101112…

Այս թիվը չունի կրկնվող մաս, բայց համարը երկար է։
Կլորացնում ենք 0,01 ճշտությամբ՝
a≈−0.57a \approx -0.57a≈−0.57

5. Տրված թվերը կլորացնելով 0,1 ճշտությամբ՝ գտեք նրանց մոտավոր գումարը

ա) 3.288+0.1233.288 + 0.1233.288+0.123

Կլորացում
3.288≈3.33.288 \approx 3.33.288≈3.3, 0.123≈0.10.123 \approx 0.10.123≈0.1

Գումարումը
3.3+0.1=3.43.3 + 0.1 = 3.43.3+0.1=3.4

բ) 0.100100010…+0.2380.100100010… + 0.2380.100100010…+0.238

Կլորացում
0.100100010…≈0.10.100100010… \approx 0.10.100100010…≈0.1, 0.238≈0.20.238 \approx 0.20.238≈0.2

Գումարումը
0.1+0.2=0.30.1 + 0.2 = 0.30.1+0.2=0.3

գ) −1.236+2.555-1.236 + 2.555−1.236+2.555

Կլորացում
−1.236≈−1.2-1.236 \approx -1.2−1.236≈−1.2, 2.555≈2.62.555 \approx 2.62.555≈2.6

Գումարումը
−1.2+2.6=1.4-1.2 + 2.6 = 1.4−1.2+2.6=1.4

դ) 2.7(3)+3.(42)2.7(3) + 3.(42)2.7(3)+3.(42)

Այս թվերը կրկնվող են՝ 2.733333…2.733333…2.733333… և 3.424242…3.424242…3.424242….
Կլորացում
2.72.72.7, 3.43.43.4

Գումարումը
2.7+3.4=6.12.7 + 3.4 = 6.12.7+3.4=6.1

Թողնել մեկնաբանություն