Գիտենք, որ իրական թվերի երկրաչափական մոդելը թվային ուղիղն է: Ցանկացած իրական թիվ թվային ուղղի վրա ունի իր դիրքը: Հիմա կպարզենք, թե ինչպես են թվային ուղղի վրա պատկերվում թվային միջակայքերը: Կօգտագործենք հետևյալ նշանակումները.
| Անհավասարությունների և ծայրակետերի նշանակումներ | Բազմությունների նշանակումներ |
| ≤ կամ ≥ ∙ (ծայրակետն ընդգրկված է) | [ և]քառակուսի փակագծեր |
| < կամ > о (ծայրակետն ընդգրկված չէ) | ( և )կլոր փակագծեր |
Գոյություն ունեն թվային ուղղի վրա բազմությունների 4 տեսակի նշանակումներ:
Ամբողջ թվային ուղիղը նշանակվում է այսպես՝ (−∞;∞)։
Եթե x թիվը միաժամանակ բավարարում է x>−4 և x<5 անհավասարություններին, ապա այն բավարարում է −4<x<5 երկկողմանի անհավասարությանը:
−4<x<5 երկկողմանի անհավասարությանը բավարարող բոլոր թվերի բազմությունը անվանում են թվային միջակայք և նշանակում են այսպես՝ (−4;5):
Միջակայքը պատկերենք թվային ուղղի վրա: Կարդում ենք՝ «−4, 5 ինտերվալ», կամ «բաց միջակայք» : Նկատենք, որ հատվածի ծայրակետերը ընդգրկված չեն (սևացված չեն):
Դիտարկենք ուրիշ միջակայքեր:
−4≤x≤5 կամ x∈[−4;5]: Կարդում ենք՝ «−4, 5 հատված», կամ «փակ միջակայք»: Նկատենք, որ հատվածի ծայրակետերը ընդգրկված են (սևացված են):
−4≤x<5 կամ x∈[−4;5): Կարդում ենք՝ «−4, 5 կիսաինտերվալ», կամ «կիսաբաց միջակայք»: Նկատենք, որ կիսաինտերվալի ծայրակետերից մեկը՝ −4 -ը ընդգրկված է (սևացված է), իսկ մյուսը՝ 5 -ը ընդգրկված չէ (սևացված չէ):
−4<x≤5 կամ x∈(−4;5]: Սա ևս կիսաինտերվալ է՝ բաց ձախ ծայրակետով:
Առաջադրանքներ․
1)Անվանեք թվային բազմությանը պատկանող բոլոր ամբողջ թվերը՝
ա) [−3;1][-3; 1][−3;1]
Այս միջակայքը ներառում է ամբողջ թվերը −3,−2,−1,0,1-3, -2, -1, 0, 1−3,−2,−1,0,1:
բ) (−3;1)(-3; 1)(−3;1)
Այս միջակայքը ներառում է ամբողջ թվերը −2,−1,0-2, -1, 0−2,−1,0:
գ) [−3;1)[-3; 1)[−3;1)
Այս միջակայքը ներառում է ամբողջ թվերը −3,−2,−1,0-3, -2, -1, 0−3,−2,−1,0:
դ) (−3;1](-3; 1](−3;1]
Այս միջակայքը ներառում է ամբողջ թվերը −2,−1,0,1-2, -1, 0, 1−2,−1,0,1:
ե) [−2;3][-2; 3][−2;3]
Այս միջակայքը ներառում է ամբողջ թվերը −2,−1,0,1,2,3-2, -1, 0, 1, 2, 3−2,−1,0,1,2,3:
զ) (−2;3)(-2; 3)(−2;3)
Այս միջակայքը ներառում է ամբողջ թվերը −1,0,1,2-1, 0, 1, 2−1,0,1,2:
է) [−2;3)[-2; 3)[−2;3)
Այս միջակայքը ներառում է ամբողջ թվերը −2,−1,0,1,2-2, -1, 0, 1, 2−2,−1,0,1,2:
ը) (−2;3](-2; 3](−2;3]
Այս միջակայքը ներառում է ամբողջ թվերը −1,0,1,2,3-1, 0, 1, 2, 3−1,0,1,2,3.
2)Պատկերեք նշված բազմությունները թվային ուղղի վրա՝
ա) [3;5][3; 5][3;5]
Այս միջակայքը ընդգրկում է 3-ը և 5-ը, ու նաև այս երկու թվերի միջև եղած բոլոր թվերը:
բ) (3;5)(3; 5)(3;5)
Այս միջակայքը չի ընդգրկում 3-ը և 5-ը, միայն նրանց միջև եղած թվերը:
գ) [3;5)[3; 5)[3;5)
Այս միջակայքը ընդգրկում է 3-ը, բայց չի ընդգրկում 5-ը:
դ) (3;5](3; 5](3;5]
Այս միջակայքը չի ընդգրկում 3-ը, բայց ընդգրկում է 5-ը:
ե) [−2;+∞)[-2; +∞)[−2;+∞)
Այս միջակայքը սկսվում է -2-ից և շարունակվում դեպի դրական ինտեգրալ թվերը:
զ) (−2;+∞)(-2; +∞)(−2;+∞)
Այս միջակայքը սկսվում է -2-ից, բայց չի ներառում -2-ը:
է) (−∞;−2)(-∞; -2)(−∞;−2)
Այս միջակայքը ներառում է բոլոր թվերը, որոնք փոքր են, քան -2, բայց -2-ը չի ներառում:
ը) (−∞;−2](-∞; -2](−∞;−2]
Այս միջակայքը ներառում է բոլոր թվերը, որոնք փոքր են կամ հավասար են -2:
3)Պատկանու՞մ է արդյոք -2 թիվը թվային բազմությանը (գրառումը կատարեք ∈ և ∉ նշանների օգնությամբ):ա) [−3;0][-3; 0][−3;0]
−2∈[−3;0]-2 \in [-3; 0]−2∈[−3;0] (պատկանում է)
բ) (−2;3)(-2; 3)(−2;3)
−2∉(−2;3)-2 \notin (-2; 3)−2∈/(−2;3) (չպատկանում է)
գ) (−∞;−2](-∞; -2](−∞;−2]
−2∈(−∞;−2]-2 \in (-∞; -2]−2∈(−∞;−2] (պատկանում է)
դ) [−3;+∞)[-3; +∞)[−3;+∞)
−2∈[−3;+∞)-2 \in [-3; +∞)−2∈[−3;+∞) (պատկանում է)
ե) N\mathbb{N}N
−2∉N-2 \notin \mathbb{N}−2∈/N (չպատկանում է)
զ) Z\mathbb{Z}Z
−2∈Z-2 \in \mathbb{Z}−2∈Z (պատկանում է)
է) Q\mathbb{Q}Q
−2∈Q-2 \in \mathbb{Q}−2∈Q (պատկանում է)
ը) R\mathbb{R}R
−2∈R-2 \in \mathbb{R}−2∈R (պատկանում է)
4)Անվանեք թվային բազմությանը պատկանող երեք ամբողջ թվեր՝
ա) [0;+∞)[0; +∞)[0;+∞)
Օրինակ՝ 0, 1, 2
բ) (0;+∞)(0; +∞)(0;+∞)
Օրինակ՝ 1, 2, 3
գ) (−∞;1)(-∞; 1)(−∞;1)
Օրինակ՝ -3, -2, 0
դ) (−∞;1](-∞; 1](−∞;1]
Օրինակ՝ -3, -2, 0
5)Գրառեք նշանակումը և պատկերեք նշված բազմությունները թվային ուղղի վրա՝
ա) 2-ից 4 փակ միջակայքի (հատվածի)
Նշում՝ [2;4][2; 4][2;4]
Այս միջակայքը ներառում է 2 և 4:
բ) 2-ից 4 բաց միջակայքի
Նշում՝ (2;4)(2; 4)(2;4)
Այս միջակայքը չի ներառում 2 և 4:
գ) 2-ից 4 կիսաբաց միջակայքի՝ 4-ը ներառած
Նշում՝ [2;4)[2; 4)[2;4)
Այս միջակայքը ներառում է 2-ը, բայց չի ներառում 4-ը:
դ) 2-ից 4 կիսաբաց միջակայքի՝ 2-ը ներառած
Նշում՝ (2;4](2; 4](2;4]
Այս միջակայքը չի ներառում 2-ը, բայց ներառում է 4-ը:
ե) 5-ից +∞ միջակայքի
Նշում՝ [5;+∞)[5; +∞)[5;+∞)
Այս միջակայքը ներառում է 5-ը և շարունակվում դեպի անսահման:
զ) 5-ից +∞ կիսաբաց միջակայքի
Նշում՝ (5;+∞)(5; +∞)(5;+∞)
Այս միջակայքը չի ներառում 5-ը:
է) -∞-ից 0 միջակայքի
Նշում՝ (−∞;0](-∞; 0](−∞;0]
Այս միջակայքը ներառում է բոլոր թվերը, որոնք փոքր են կամ հավասար են 0:
ը) -∞-ից 0 կիսաբաց միջակայքի
Նշում՝ (−∞;0)(-∞; 0)(−∞;0)
Այս միջակայքը չի ներառում 0-ը:
6)Պատկանու՞մ է արդյոք 2/3 թիվը թվային բազմությանը (գրառումը կատարեք ∈ և ∉ նշանների օգնությամբ):
ա) (0;1](0; 1](0;1]
23∈(0;1] \frac{2}{3} \in (0; 1]32∈(0;1] (պատկանում է)
բ) [1;2][1; 2][1;2]
23∉[1;2] \frac{2}{3} \notin [1; 2]32∈/[1;2] (չպատկանում է)
գ) (−∞;23](-∞; \frac{2}{3}](−∞;32]
23∈(−∞;23] \frac{2}{3} \in (-∞; \frac{2}{3}]32∈(−∞;32] (պատկանում է)
դ) (23;+∞)(\frac{2}{3}; +∞)(32;+∞)
23∉(23;+∞) \frac{2}{3} \notin (\frac{2}{3}; +∞)32∈/(32;+∞) (չպատկանում է)
ե) N\mathbb{N}N
23∉N \frac{2}{3} \notin \mathbb{N}32∈/N (չպատկանում է)
զ) Z\mathbb{Z}Z
23∉Z \frac{2}{3} \notin \mathbb{Z}32∈/Z (չպատկանում է)
է) Q\mathbb{Q}Q
23∈Q \frac{2}{3} \in \mathbb{Q}32∈Q (պատկանում է)
ը) R\mathbb{R}R
23∈R \frac{2}{3} \in \mathbb{R}32∈R (պատկանում է)
Վարազդատ Մահամ 